1. Datos y análisis previo:
Se nos presenta una ecuación trigonométrica de la forma $a \sin x + b \cos x = c$. Un método efectivo es dividir toda la ecuación por $\sqrt{a^2 + b^2}$ para utilizar identidades de ángulos compuestos.

2. Transformación de la ecuación:
Calculamos el factor de división: $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$.
Dividimos ambos miembros entre 2:
$$ \frac{1}{2} \text{sen } x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{1}{2} $$

3. Aplicación de identidades:
Reconocemos los valores de seno y coseno para $60^\circ$: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ y $\text{sen } 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Sustituimos en la ecuación:
$$ \text{sen } x \cdot \cos 60^\circ + \cos x \cdot \text{sen } 60^\circ = \frac{1}{2} $$
Aplicamos la identidad del seno de una suma $\text{sen}(A + B) = \text{sen } A \cos B + \cos A \text{sen } B$:
$$ \text{sen}(x + 60^\circ) = \frac{1}{2} $$

4. Resolución para el ángulo:
El seno es igual a $1/2$ en los ángulos de $30^\circ$ y $150^\circ$ (dentro de la primera vuelta):
$$ \begin{array}{l} \text{Caso 1: } x + 60^\circ = 30^\circ + 360^\circ k \Rightarrow x = -30^\circ + 360^\circ k \\ \text{Caso 2: } x + 60^\circ = 150^\circ + 360^\circ k \Rightarrow x = 90^\circ + 360^\circ k \end{array} $$

Para $k=1$ en el Caso 1: $x = 330^\circ$.
Para $k=0$ en el Caso 2: $x = 90^\circ$.

5. Conclusión:
Las soluciones en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ]$ son:
$$ \boxed{x = 90^\circ; 330^\circ} $$