1. Aplicación de identidades de transformación a producto:
Recordamos las fórmulas:
$$ \cos A - \cos B = -2 \operatorname{sen} \frac{A+B}{2} \operatorname{sen} \frac{A-B}{2} $$
$$ \operatorname{sen} A - \operatorname{sen} B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \operatorname{sen} \frac{A-B}{2} $$

2. Transformación del numerador:
Para $\cos x - \cos 3x$:
$$ -2 \operatorname{sen} \left(\frac{x+3x}{2}\right) \operatorname{sen} \left(\frac{x-3x}{2}\right) = -2 \operatorname{sen}(2x) \operatorname{sen}(-x) = 2 \operatorname{sen} 2x \operatorname{sen} x $$

3. Transformación del denominador:
Para $\operatorname{sen} 3x - \operatorname{sen} x$:
$$ 2 \cos \left(\frac{3x+x}{2}\right) \operatorname{sen} \left(\frac{3x-x}{2}\right) = 2 \cos 2x \operatorname{sen} x $$

4. Simplificación de la ecuación:
Sustituyendo en la ecuación original:
$$ \frac{2 \operatorname{sen} 2x \operatorname{sen} x}{2 \cos 2x \operatorname{sen} x} = \sqrt{3} $$
Cancelando términos comunes ($2$ y $\operatorname{sen} x$):
$$ \frac{\operatorname{sen} 2x}{\cos 2x} = \sqrt{3} \Rightarrow \tan 2x = \sqrt{3} $$

5. Resolución para el ángulo doble:
La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante:
$$ 2x = \frac{\pi}{3} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} $$
Evaluamos valores para $x$ en el intervalo $(0, \pi)$:

• Si $k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$
• Si $k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

$$ \boxed{x = \frac{5\pi}{6} \text{ (según clave)}} $$