1. Identidad auxiliar:
Recordemos la identidad de la tangente de la suma:
$$ \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $$
De aquí podemos despejar la suma de tangentes:
$$ \tan A + \tan B = \tan(A+B)(1 - \tan A \tan B) $$

2. Transformación de la ecuación:
Aplicamos esta identidad a los términos de la izquierda con $A=x$ y $B=2x$:
$$ \tan x + \tan 2x = \tan(3x)(1 - \tan x \tan 2x) $$
Sustituimos esto en la ecuación original:
$$ \tan 3x (1 - \tan x \tan 2x) = \tan 3x $$

3. Factorización:
Igualamos a cero y factorizamos $\tan 3x$:
$$ \tan 3x (1 - \tan x \tan 2x) - \tan 3x = 0 $$
$$ \tan 3x (1 - \tan x \tan 2x - 1) = 0 $$
$$ \tan 3x (-\tan x \tan 2x) = 0 $$

4. Análisis de factores:
Para que el producto sea cero, al menos uno de los factores debe serlo:

• $\tan 3x = 0 \Rightarrow 3x = 180^\circ k \Rightarrow x = 60^\circ k$
• $\tan x = 0 \Rightarrow x = 180^\circ k$ (ya incluido en el caso anterior)
• $\tan 2x = 0 \Rightarrow 2x = 180^\circ k \Rightarrow x = 90^\circ k$

5. Verificación de valores en el rango $[0^\circ, 360^\circ]$:
Debemos cuidar que los valores no indeterminen ninguna tangente original (evitar $90^\circ, 270^\circ$).
Para $x = 60^\circ k$:
$k=0 \to 0^\circ$; $k=1 \to 60^\circ$; $k=2 \to 120^\circ$; $k=3 \to 180^\circ$; $k=4 \to 240^\circ$; $k=5 \to 300^\circ$; $k=6 \to 360^\circ$.
Para $x = 90^\circ k$:
$0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ, 360^\circ$. Sin embargo, $90^\circ$ y $270^\circ$ hacen que $\tan x$ y $\tan 3x$ sean infinitos, por lo que se descartan.

$$ \boxed{x = \{0^\circ; 60^\circ; 120^\circ; 180^\circ; 240^\circ; 300^\circ; 360^\circ\}} $$