1. Datos y fórmulas:

• Ángulo doble para coseno: $1 + \cos 4x = 2\cos^2 2x$
• Ángulo doble para seno: $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $1 + \cos 4x$ en la ecuación:
$$ (2\cos^2 2x) \sin 4x = 2\cos^2 2x $$

Dividimos entre 2 y trasponemos:
$$ \cos^2 2x \sin 4x - \cos^2 2x = 0 $$

Factorizamos:
$$ \cos^2 2x (\sin 4x - 1) = 0 $$

Analizamos cada factor para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ]$:

Caso 1: $\cos^2 2x = 0 \implies \cos 2x = 0$
$$ \begin{array}{lll} 2x = 90^\circ & \implies & x = 45^\circ \\ 2x = 270^\circ & \implies & x = 135^\circ \\ 2x = 450^\circ & \implies & x = 225^\circ \\ 2x = 630^\circ & \implies & x = 315^\circ \end{array} $$

Caso 2: $\sin 4x - 1 = 0 \implies \sin 4x = 1$
$$ \begin{array}{lll} 4x = 90^\circ & \implies & x = 22.5^\circ \\ 4x = 450^\circ & \implies & x = 112.5^\circ \\ 4x = 810^\circ & \implies & x = 202.5^\circ \\ 4x = 1170^\circ & \implies & x = 292.5^\circ \end{array} $$

3. Conclusión:
Ordenando los resultados de menor a mayor:
$$ \boxed{x = 22.5^\circ; 45^\circ; 112.5^\circ; 135^\circ; 202.5^\circ; 225^\circ; 292.5^\circ; 315^\circ} $$