1. Identidades de reducción al primer cuadrante:
Simplificamos los términos con ángulos compuestos:

• $\text{sen}(\pi - x) = \text{sen} x$ (Segundo cuadrante, seno positivo)
• $\tan\left( \frac{\pi}{2} + \frac{x}{2} \right) = -\cot\left( \frac{x}{2} \right)$ (Segundo cuadrante, tangente cambia a cotangente y es negativa)

2. Desarrollo paso a paso:

Paso A: Reescritura de la ecuación
Sustituimos las reducciones:
$$ \sec x + 1 = \text{sen} x - \cos x \left[ -\cot\left( \frac{x}{2} \right) \right] $$
$$ \sec x + 1 = \text{sen} x + \cos x \cot\left( \frac{x}{2} \right) $$

Paso B: Aplicación de identidades de ángulo mitad
Recordemos que $\cot(x/2) = \frac{1 + \cos x}{\text{sen} x}$. Sustituimos:
$$ \frac{1}{\cos x} + 1 = \text{sen} x + \cos x \left( \frac{1 + \cos x}{\text{sen} x} \right) $$
$$ \frac{1 + \cos x}{\cos x} = \frac{\text{sen}^2 x + \cos x + \cos^2 x}{\text{sen} x} $$

Como $\text{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$:
$$ \frac{1 + \cos x}{\cos x} = \frac{1 + \cos x}{\text{sen} x} $$

Paso C: Análisis de factores
Para que la igualdad se cumpla, tenemos dos posibilidades:

1. El numerador es cero: $1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1 \implies x = 180^\circ$.
2. Los denominadores son iguales: $\cos x = \text{sen} x \implies \tan x = 1 \implies x = 45^\circ, 225^\circ$.

Resultado:
Los valores que satisfacen la ecuación en la primera vuelta son:
$$ \boxed{x = \{45^\circ, 180^\circ, 225^\circ\}} $$