1. Datos y fórmulas útiles:
Para resolver este problema, utilizaremos las identidades de suma de ángulos y la identidad del ángulo doble para el coseno:

• $\text{sen}(A + B) = \text{sen} A \cos B + \cos A \text{sen} B$
• $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \text{sen} A \text{sen} B$
• $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$

2. Desarrollo paso a paso:

Paso A: Simplificación del lado izquierdo (L.I.)
Expandimos los términos usando las identidades mencionadas:
$$ \begin{aligned} \text{sen}(x + 30^\circ) &= \text{sen} x \cos 30^\circ + \cos x \text{sen} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\text{sen} x + \frac{1}{2}\cos x \\ \cos(x + 60^\circ) &= \cos x \cos 60^\circ - \text{sen} x \text{sen} 60^\circ = \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\text{sen} x \end{aligned} $$

Sumamos ambos resultados:
$$ \text{L.I.} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\text{sen} x + \frac{1}{2}\cos x \right) + \left( \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\text{sen} x \right) $$
$$ \text{L.I.} = \cos x $$

Paso B: Sustitución en la ecuación original
Sustituimos el L.I. simplificado y aplicamos la identidad del ángulo doble en el lado derecho:
$$ \cos x = 1 + (2\cos^2 x - 1) $$
$$ \cos x = 2\cos^2 x $$

Paso C: Resolución de la ecuación cuadrática
Igualamos a cero para factorizar:
$$ 2\cos^2 x - \cos x = 0 \implies \cos x (2\cos x - 1) = 0 $$

Obtenemos dos casos:

1. $\cos x = 0 \implies x = 90^\circ, 270^\circ$
2. $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = 60^\circ, 300^\circ$

Resultado:
$$ \boxed{x = \{60^\circ, 90^\circ, 270^\circ, 300^\circ\}} $$