1. Simplificación del miembro izquierdo:
Recordemos que $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$. Trabajamos el lado izquierdo de la ecuación:
$$ E = \frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{1 - \frac{1}{\tan \frac{x}{2}}} $$
$$ E = \frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{\frac{\tan \frac{x}{2} - 1}{\tan \frac{x}{2}}} $$
$$ E = \frac{\tan \frac{x}{2} (1 - \tan \frac{x}{2})}{\tan \frac{x}{2} - 1} $$

Observamos que $(1 - \tan \frac{x}{2}) = -(\tan \frac{x}{2} - 1)$, por lo tanto:
$$ E = \frac{-\tan \frac{x}{2} (\tan \frac{x}{2} - 1)}{\tan \frac{x}{2} - 1} = -\tan \frac{x}{2} $$

2. Sustitución en la ecuación original:
Ahora igualamos el resultado simplificado al miembro derecho:
$$ -\tan \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} $$

Expresamos la tangente en términos de seno y coseno:
$$ -\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = 2 \sin \frac{x}{2} $$

3. Resolución de la ecuación:
Pasamos todo a un solo miembro para factorizar:
$$ 2 \sin \frac{x}{2} + \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = 0 $$
$$ \sin \frac{x}{2} \left( 2 + \frac{1}{\cos \frac{x}{2}} \right) = 0 $$

1. $\sin \frac{x}{2} = 0$: Esto implicaría que $\frac{x}{2} = 0^\circ, 180^\circ, \dots$, pero si $\frac{x}{2} = 0$, la función $\cot \frac{x}{2}$ en la ecuación original no estaría definida.
2. $2 + \frac{1}{\cos \frac{x}{2}} = 0 \Rightarrow \frac{1}{\cos \frac{x}{2}} = -2 \Rightarrow \cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$

$$ \frac{x}{2} = 120^\circ \quad \text{o} \quad \frac{x}{2} = 240^\circ $$

4. Cálculo de $x$:
Si $\frac{x}{2} = 120^\circ \Rightarrow x = 240^\circ$.
Verificamos con la respuesta sugerida en el problema.

Representación visual de la solución:
$$ \begin{array}{c} \cos(x/2) = -1/2 \\ \hline \begin{array}{|l|l|} \hline \text{Ángulo medio } (x/2) & \text{Ángulo original } (x) \\ \hline 120^\circ \text{ (Cuadrante II)} & 240^\circ \\ 240^\circ \text{ (Cuadrante III)} & 480^\circ \text{ (No usual)} \\ \hline \end{array} \end{array} $$

Resultado final:
$$ \boxed{x = 240^\circ} $$