1. Datos y planteamiento:
Tenemos una ecuación trigonométrica de segundo grado respecto a las funciones seno y coseno:
$$ 6 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x = 2 $$

2. Transformación de la constante:
Utilizamos la identidad fundamental de la trigonometría $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ para expresar el número $2$ en términos de funciones trigonométricas:
$$ 2 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x $$

Sustituimos esto en la ecuación original:
$$ 6 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x $$

3. Simplificación y reducción a una variable:
Agrupamos todos los términos en el lado izquierdo de la igualdad:
$$ 6 \sin^2 x - 2 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x - 2 \cos^2 x = 0 $$
$$ 4 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x - 7 \cos^2 x = 0 $$

$$ 4 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 3 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 7 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $$
$$ 4 \tan^2 x + 3 \tan x - 7 = 0 $$

4. Factorización:
Sea $u = \tan x$, tenemos la ecuación cuadrática $4u^2 + 3u - 7 = 0$. Factorizamos por el método de aspa simple:
$$ (4 \tan x + 7)(\tan x - 1) = 0 $$

5. Obtención de las raíces:
De los factores obtenemos dos casos:

• Caso 1: $\tan x - 1 = 0 \Rightarrow \tan x = 1$
  Las soluciones para la tangente igual a 1 en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$ son:
  $$ x_1 = 45^\circ \quad \text{y} \quad x_3 = 180^\circ + 45^\circ = 225^\circ $$
• Caso 2: $4 \tan x + 7 = 0 \Rightarrow \tan x = -\frac{7}{4} = -1.75$
  Calculamos el ángulo de referencia: $\alpha = \arctan(1.75) \approx 60.255^\circ$.
  Como la tangente es negativa, $x$ se encuentra en el II y IV cuadrante:
  $$ x_2 = 180^\circ - 60.255^\circ \approx 119.75^\circ $$
  $$ x_4 = 360^\circ - 60.255^\circ \approx 299.75^\circ $$

Representación de soluciones en el círculo unitario:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Cuadrante} & \text{Ángulo } (x) & \tan(x) & \text{Estatus} \\ \hline \text{I} & 45^\circ & 1 & \text{Solución} \\ \text{II} & 119.75^\circ & -1.75 & \text{Solución} \\ \text{III} & 225^\circ & 1 & \text{Solución} \\ \text{IV} & 299.75^\circ & -1.75 & \text{Solución} \\ \hline \end{array} $$

Resultado final:
$$ \boxed{x = \{45^\circ; 119.75^\circ; 225^\circ; 299.75^\circ\}} $$