1. Simplificación del lado izquierdo (LHS):

Recordamos la identidad de co-función: $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)$.
$$\text{LHS} = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)}$$

Usamos la identidad de la tangente del ángulo mitad: $\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)}$.
Por lo tanto:
$$\text{LHS} = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$$

2. Simplificación del lado derecho (RHS):

Usamos la identidad pitagórica: $\sec^2(A) - 1 = \tan^2(A)$.
$$\text{RHS} = \sec^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 = \tan^2\left(\frac{x}{2}\right)$$

3. Igualación y resolución:

Igualamos los lados simplificados:
$$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \tan^2\left(\frac{x}{2}\right)$$

Reordenamos la ecuación para igualarla a cero:
$$\tan^2\left(\frac{x}{2}\right) - \tan\left(\frac{x}{2}\right) = 0$$

Factorizamos $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$:
$$\tan\left(\frac{x}{2}\right) \left( \tan\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \right) = 0$$

Esto nos da dos casos para las soluciones generales (donde $n$ es un entero):

• Caso 1: $\tan\left(\frac{x}{2}\right) = 0$
  $$\frac{x}{2} = n\pi + \arctan(0)$$
  $$\frac{x}{2} = n\pi$$
  $$x = 2n\pi$$
• Caso 2: $\tan\left(\frac{x}{2}\right) - 1 = 0 \Rightarrow \tan\left(\frac{x}{2}\right) = 1$
  $$\frac{x}{2} = n\pi + \arctan(1)$$
  $$\frac{x}{2} = n\pi + \frac{\pi}{4}$$
  $$x = 2n\pi + \frac{2\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$$
  $$x = \frac{4n\pi + \pi}{2} = \frac{\pi}{2}(4n + 1)$$

4. Resultado final:

Las soluciones son $x = 2n\pi$ y $x = \frac{\pi}{2}(4n + 1)$, donde $n \in \mathbb{Z}$.