1. Datos del problema:
Identidad trigonométrica que relaciona fracciones de senos/cosenos con funciones tangente.

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\tan(3\theta) - \tan \theta = \frac{\operatorname{sen}(2\theta)}{\cos(3\theta)\cos \theta}$


• Multiplicando por $\frac{2\cos \theta}{2\cos \theta}$ se puede demostrar que $\frac{\operatorname{sen} \theta}{\cos 3\theta} = \frac{1}{2}(\tan 3\theta - \tan \theta)$ solo si se cumple una estructura de telescopio.

3. Desarrollo paso a paso:
Analicemos el término general $\frac{\operatorname{sen} \theta}{\cos 3\theta}$. Multiplicamos y dividimos por $2\cos \theta$:
$$\frac{2\operatorname{sen} \theta \cos \theta}{2\cos 3\theta \cos \theta} = \frac{\operatorname{sen} 2\theta}{2\cos 3\theta \cos \theta} = \frac{\operatorname{sen}(3\theta - \theta)}{2\cos 3\theta \cos \theta}$$
Usando la identidad del seno de la resta:
$$\frac{\operatorname{sen} 3\theta \cos \theta - \cos 3\theta \operatorname{sen} \theta}{2\cos 3\theta \cos \theta} = \frac{1}{2} \left( \frac{\operatorname{sen} 3\theta}{\cos 3\theta} - \frac{\operatorname{sen} \theta}{\cos \theta} \right) = \frac{1}{2}(\tan 3\theta - \tan \theta)$$
Aplicamos esto a los dos términos de la suma:
1) $\frac{\operatorname{sen} x}{\cos 3x} = \frac{1}{2}(\tan 3x - \tan x)$
2) $\frac{\operatorname{sen} 3x}{\cos 9x} = \frac{1}{2}(\tan 9x - \tan 3x)$
Sumando ambos términos:
$$\frac{1}{2}\tan 3x - \frac{1}{2}\tan x + \frac{1}{2}\tan 9x - \frac{1}{2}\tan 3x = \frac{1}{2}\tan 9x - \frac{1}{2}\tan x$$
Comparando con $A \tan(Bx) + C \tan x$:

• $A = 1/2$


• $B = 9$


• $C = -1/2$

Calculamos $A+B+C$:
$$A+B+C = \frac{1}{2} + 9 - \frac{1}{2} = 9$$

4. Resultado final:
$A+B+C = 9$