1. Datos del problema:
Se busca hallar la expresión equivalente de $M$ que cumple la igualdad dada.

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\csc x = \frac{1}{\operatorname{sen} x}$, $\sec x = \frac{1}{\cos x}$


• $\cot x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}$, $\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$


• $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$


• Diferencia de cubos: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$


• Diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

3. Desarrollo paso a paso:
Trabajamos el miembro izquierdo (LHS) convirtiendo a senos y cosenos:
$$LHS = \frac{1 + \frac{1}{\operatorname{sen} x}}{\frac{\cos^2 x}{\operatorname{sen}^2 x}} - \frac{1 + \frac{1}{\cos x}}{\frac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x}}$$
$$LHS = \frac{\frac{\operatorname{sen} x + 1}{\operatorname{sen} x}}{\frac{\cos^2 x}{\operatorname{sen}^2 x}} - \frac{\frac{\cos x + 1}{\cos x}}{\frac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x}}$$
$$LHS = \frac{\operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x + 1)}{\cos^2 x} - \frac{\cos x(\cos x + 1)}{\operatorname{sen}^2 x}$$
Buscamos común denominador ($\operatorname{sen}^2 x \cos^2 x$):
$$LHS = \frac{\operatorname{sen}^3 x + \operatorname{sen}^2 x - (\cos^3 x + \cos^2 x)}{\operatorname{sen}^2 x \cos^2 x}$$
$$LHS = \frac{(\operatorname{sen}^3 x - \cos^3 x) + (\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x)}{\operatorname{sen}^2 x \cos^2 x}$$
Factorizamos:
$$LHS = \frac{(\operatorname{sen} x - \cos x)(\operatorname{sen}^2 x + \operatorname{sen} x \cos x + \cos^2 x) + (\operatorname{sen} x - \cos x)(\operatorname{sen} x + \cos x)}{\operatorname{sen}^2 x \cos^2 x}$$
$$LHS = \frac{(\operatorname{sen} x - \cos x)[(1 + \operatorname{sen} x \cos x) + (\operatorname{sen} x + \cos x)]}{\operatorname{sen}^2 x \cos^2 x}$$
Agrupamos el término dentro del corchete: $1 + \operatorname{sen} x + \cos x(1 + \operatorname{sen} x) = (1 + \operatorname{sen} x)(1 + \cos x)$.
$$LHS = \frac{(\operatorname{sen} x - \cos x)(1 + \operatorname{sen} x)(1 + \cos x)}{\operatorname{sen}^2 x \cos^2 x}$$
Igualamos a la expresión de la derecha:
$$\frac{(\operatorname{sen} x - \cos x)(1 + \operatorname{sen} x)(1 + \cos x)}{(1-\operatorname{sen}^2 x)(1-\cos^2 x)} = \frac{M}{(1-\cos x)(1-\operatorname{sen} x)}$$
Notamos que $1-\operatorname{sen}^2 x = (1-\operatorname{sen} x)(1+\operatorname{sen} x)$ y $1-\cos^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x)$:
$$\frac{(\operatorname{sen} x - \cos x)(1 + \operatorname{sen} x)(1 + \cos x)}{(1-\operatorname{sen} x)(1+\operatorname{sen} x)(1-\cos x)(1+\cos x)} = \frac{M}{(1-\cos x)(1-\operatorname{sen} x)}$$
Cancelando términos comunes en el denominador y numerador:
$$\frac{\operatorname{sen} x - \cos x}{(1-\operatorname{sen} x)(1-\cos x)} = \frac{M}{(1-\cos x)(1-\operatorname{sen} x)}$$

4. Resultado final:
$M = \operatorname{sen} x - \cos x$