1. Datos del problema:

• $\alpha + \beta = 90^\circ$ (complementarios)


• $\frac{\text{sen } \alpha}{5} = \frac{\text{sen } \beta}{7}$

2. Fórmulas/Propiedades:

• Si $\alpha + \beta = 90^\circ \implies \text{sen } \beta = \cos \alpha$


• $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$

3. Desarrollo paso a paso:
De la condición de complementariedad: $\text{sen } \beta = \cos \alpha$. Sustituimos en la proporción dada:
$$\frac{\text{sen } \alpha}{5} = \frac{\cos \alpha}{7} \implies \frac{\text{sen } \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5}{7} \implies \tan \alpha = \frac{5}{7}$$
Como $\alpha$ y $\beta$ son complementarios, se cumple que $\tan \beta = \cot \alpha = \frac{7}{5}$.

Ahora calculamos $\tan(\alpha - \beta)$:
$$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\frac{5}{7} - \frac{7}{5}}{1 + (\frac{5}{7})(\frac{7}{5})} = \frac{\frac{25 - 49}{35}}{1 + 1} = \frac{-\frac{24}{35}}{2}$$
$$\tan(\alpha - \beta) = -\frac{12}{35}$$

4. Resultado final:
$$\tan(\alpha - \beta) = -\frac{12}{35}$$