Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TREC_029
Compendio de Trigonometría
Enunciado
Simplificar: $E = \tan^2 \alpha + \tan^2 \beta + \tan^2 \theta + \tan^2 \gamma$, si:
$$ \begin{cases} \cos 2\alpha = \frac{x}{y+z+w} \\ \cos 2\beta = \frac{y}{x+z+w} \\ \cos 2\theta = \frac{z}{x+y+w} \\ \cos 2\gamma = \frac{w}{x+y+z} \end{cases} $$
Resp. $E = 2$
$$ \begin{cases} \cos 2\alpha = \frac{x}{y+z+w} \\ \cos 2\beta = \frac{y}{x+z+w} \\ \cos 2\theta = \frac{z}{x+y+w} \\ \cos 2\gamma = \frac{w}{x+y+z} \end{cases} $$
Resp. $E = 2$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Se nos dan las expresiones para el coseno del ángulo doble de cuatro variables y se pide hallar la suma de sus tangentes al cuadrado.
2. Fórmulas/Propiedades:
Utilizaremos la identidad del ángulo mitad/doble para la tangente:
$$\tan^2 A = \frac{1 - \cos 2A}{1 + \cos 2A}$$
3. Desarrollo paso a paso:
Sea $S = x + y + z + w$. Podemos reescribir los denominadores de los datos:
Sustituimos en la fórmula de $\tan^2 \alpha$:
$$\tan^2 \alpha = \frac{1 - \frac{x}{S-x}}{1 + \frac{x}{S-x}} = \frac{\frac{S - x - x}{S - x}}{\frac{S - x + x}{S - x}} = \frac{S - 2x}{S}$$
De manera análoga, obtenemos las demás expresiones:
$$\tan^2 \beta = \frac{S - 2y}{S}, \quad \tan^2 \theta = \frac{S - 2z}{S}, \quad \tan^2 \gamma = \frac{S - 2w}{S}$$
Sumamos todos los términos para hallar $E$:
$$E = \frac{S - 2x}{S} + \frac{S - 2y}{S} + \frac{S - 2z}{S} + \frac{S - 2w}{S}$$
$$E = \frac{4S - 2(x + y + z + w)}{S}$$
Como $x + y + z + w = S$:
$$E = \frac{4S - 2S}{S} = \frac{2S}{S} = 2$$
4. Resultado final:
$$E = 2$$
Se nos dan las expresiones para el coseno del ángulo doble de cuatro variables y se pide hallar la suma de sus tangentes al cuadrado.
2. Fórmulas/Propiedades:
Utilizaremos la identidad del ángulo mitad/doble para la tangente:
$$\tan^2 A = \frac{1 - \cos 2A}{1 + \cos 2A}$$
3. Desarrollo paso a paso:
Sea $S = x + y + z + w$. Podemos reescribir los denominadores de los datos:
- $y + z + w = S - x$
- $x + z + w = S - y$
- $x + y + w = S - z$
- $x + y + z = S - w$
Sustituimos en la fórmula de $\tan^2 \alpha$:
$$\tan^2 \alpha = \frac{1 - \frac{x}{S-x}}{1 + \frac{x}{S-x}} = \frac{\frac{S - x - x}{S - x}}{\frac{S - x + x}{S - x}} = \frac{S - 2x}{S}$$
De manera análoga, obtenemos las demás expresiones:
$$\tan^2 \beta = \frac{S - 2y}{S}, \quad \tan^2 \theta = \frac{S - 2z}{S}, \quad \tan^2 \gamma = \frac{S - 2w}{S}$$
Sumamos todos los términos para hallar $E$:
$$E = \frac{S - 2x}{S} + \frac{S - 2y}{S} + \frac{S - 2z}{S} + \frac{S - 2w}{S}$$
$$E = \frac{4S - 2(x + y + z + w)}{S}$$
Como $x + y + z + w = S$:
$$E = \frac{4S - 2S}{S} = \frac{2S}{S} = 2$$
4. Resultado final:
$$E = 2$$