Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TREC_026
Compendio de Trigonometría
Enunciado
Calcule el valor de $A$, si $\alpha, \beta$ y $\theta$ son ángulos que están en progresión aritmética creciente, y que verifican:
$\frac{\text{sen } \alpha + \text{sen } \theta}{\cos \alpha + \cos \theta} = A \tan \beta$
$\frac{\text{sen } \alpha + \text{sen } \theta}{\cos \alpha + \cos \theta} = A \tan \beta$
Solución Paso a Paso
1. Desarrollo paso a paso:
Por estar en progresión aritmética: $\beta = \frac{\alpha + \theta}{2}$.
Transformamos la fracción del enunciado de suma a producto:
$$\frac{2 \text{sen} \left( \frac{\alpha + \theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \theta}{2} \right)}{2 \cos \left( \frac{\alpha + \theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \theta}{2} \right)} = A \tan \beta$$
$$\tan \left( \frac{\alpha + \theta}{2} \right) = A \tan \beta$$
Sustituyendo $\frac{\alpha + \theta}{2} = \beta$:
$$\tan \beta = A \tan \beta \implies A = 1$$
2. Resultado final:
$$A = 1$$
Por estar en progresión aritmética: $\beta = \frac{\alpha + \theta}{2}$.
Transformamos la fracción del enunciado de suma a producto:
$$\frac{2 \text{sen} \left( \frac{\alpha + \theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \theta}{2} \right)}{2 \cos \left( \frac{\alpha + \theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \theta}{2} \right)} = A \tan \beta$$
$$\tan \left( \frac{\alpha + \theta}{2} \right) = A \tan \beta$$
Sustituyendo $\frac{\alpha + \theta}{2} = \beta$:
$$\tan \beta = A \tan \beta \implies A = 1$$
2. Resultado final:
$$A = 1$$