Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TREC_015
2do Ex. I-2010
Enunciado
Paso 1:
En un triángulo rectángulo de lados $A$, $B$, y $C$ con ángulos $\alpha$ y $\beta$, se cumple que: $\tan \beta = \frac{B}{A}$. Halle el valor de $\alpha$ en términos de la secante.
En un triángulo rectángulo de lados $A$, $B$, y $C$ con ángulos $\alpha$ y $\beta$, se cumple que: $\tan \beta = \frac{B}{A}$. Halle el valor de $\alpha$ en términos de la secante.
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Fórmulas/Propiedades:
3. Desarrollo paso a paso:
4. Resultado final:
$$\text{Resp: } \alpha = \text{arc sec} \left( \frac{\sqrt{A^2 + B^2}}{B} \right)$$
- Triángulo rectángulo con catetos $A$ y $B$, e hipotenusa $C$.
- $\tan \beta = \frac{B}{A}$
2. Fórmulas/Propiedades:
- Hipotenusa: $C = \sqrt{A^2 + B^2}$
- $\sec \theta = \frac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto Adyacente}}$
- En un triángulo rectángulo: $\alpha + \beta = 90^\circ$
3. Desarrollo paso a paso:
- De $\tan \beta = \frac{B}{A}$, definimos que $B$ es el cateto opuesto a $\beta$ y $A$ es el cateto adyacente a $\beta$.
- Por lo tanto, el ángulo $\alpha$ es el ángulo opuesto al cateto $A$ y adyacente al cateto $B$.
- Expresamos la secante de $\alpha$:
$$\sec \alpha = \frac{C}{\text{cateto adyacente a } \alpha} = \frac{\sqrt{A^2 + B^2}}{B}$$ - Despejamos $\alpha$ usando la función inversa:
$$\alpha = \text{arc sec} \left( \frac{\sqrt{A^2 + B^2}}{B} \right)$$
4. Resultado final:
$$\text{Resp: } \alpha = \text{arc sec} \left( \frac{\sqrt{A^2 + B^2}}{B} \right)$$