Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TREC_014
2do Ex. II-2009
Enunciado
Paso 1:
Si: $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, halle: $Z = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$
Si: $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, halle: $Z = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Fórmulas/Propiedades:
3. Desarrollo paso a paso:
4. Resultado final:
$$\text{Resp: } Z = \pm \sqrt{3}$$
- $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. Fórmulas/Propiedades:
- Identidad de la tangente del ángulo doble: $\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$
- Si $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, entonces $\alpha = \pm 30^\circ$ (o sus equivalentes).
3. Desarrollo paso a paso:
- Identificamos que la expresión $Z$ corresponde a la fórmula de $\tan 2\alpha$.
- Si $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, el ángulo notable es $\alpha = 30^\circ$ (considerando el signo positivo/negativo según el cuadrante).
- Calculamos $Z$ usando el ángulo doble:
$$Z = \tan(2 \cdot 30^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$$ - Dado que $\alpha$ puede estar en el I o IV cuadrante, $\tan \alpha$ puede ser $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, lo que resulta en $Z = \pm \sqrt{3}$.
4. Resultado final:
$$\text{Resp: } Z = \pm \sqrt{3}$$