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MATU • Algebra
MATU_SIS_ECU_098
Imagen de Redes Sociales @MathGuyTFL
Enunciado
Dada la siguiente información, determine el valor numérico de la expresión $x + y$:
$$ \begin{cases} (x + y)(x^2 + y^2) = 5 & \text{--- (Ec. 1)} \\ (x - y)(x^2 - y^2) = 2 & \text{--- (Ec. 2)} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} (x + y)(x^2 + y^2) = 5 & \text{--- (Ec. 1)} \\ (x - y)(x^2 - y^2) = 2 & \text{--- (Ec. 2)} \end{cases} $$
Solución Paso a Paso
1. Análisis de las Ecuaciones
Para resolver este sistema, buscaremos relacionar ambas ecuaciones utilizando productos notables. Notamos que la segunda ecuación contiene una diferencia de cuadrados, la cual podemos descomponer.
2. Simplificación de la Segunda Ecuación
Aplicamos la identidad de diferencia de cuadrados $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ en la (Ec. 2):
$$ (x - y) \underbrace{(x^2 - y^2)}_{(x - y)(x + y)} = 2 $$
$$ (x - y)(x - y)(x + y) = 2 $$
$$ (x - y)^2 (x + y) = 2 \quad \text{--- (Ec. 3)} $$
3. Transformación de la Primera Ecuación
Trabajaremos con la (Ec. 1) intentando expresar el término $(x^2 + y^2)$ en función de las sumas y diferencias. Recordemos que:
$$ \begin{array}{rcl} (x + y)^2 & = & x^2 + y^2 + 2xy \\ (x - y)^2 & = & x^2 + y^2 - 2xy \end{array} $$
Al sumar estas dos identidades, obtenemos:
$$ (x + y)^2 + (x - y)^2 = 2(x^2 + y^2) $$
$$ \frac{(x + y)^2 + (x - y)^2}{2} = x^2 + y^2 $$
Sustituimos esta expresión en la (Ec. 1):
$$ (x + y) \left[ \frac{(x + y)^2 + (x - y)^2}{2} \right] = 5 $$
Multiplicamos toda la ecuación por $2$ para eliminar el denominador:
$$ (x + y) \left[ (x + y)^2 + (x - y)^2 \right] = 10 $$
Distribuimos el término $(x + y)$:
$$ (x + y)^3 + (x + y)(x - y)^2 = 10 \quad \text{--- (Ec. 4)} $$
4. Resolución por Sustitución
Observemos que en el paso 2 obtuvimos la (Ec. 3): $(x + y)(x - y)^2 = 2$. Este término aparece exactamente igual en nuestra nueva (Ec. 4). Sustituimos el valor:
$$ (x + y)^3 + 2 = 10 $$
Ahora despejamos el término buscado:
$$ (x + y)^3 = 10 - 2 $$
$$ (x + y)^3 = 8 $$
Aplicamos raíz cúbica en ambos lados:
$$ x + y = \sqrt[3]{8} $$
$$ x + y = 2 $$
5. Conclusión
El valor de la suma de las variables es constante y determinado por el sistema.
Representación Conceptual:
$$ \begin{array}{c} \text{Resumen de la reducción algebraica} \\ \hline \begin{array}{|l|l|} \hline \text{De Ec. 2:} & (x + y)(x - y)^2 = 2 \\ \hline \text{De Ec. 1:} & (x + y)^3 + (x + y)(x - y)^2 = 10 \\ \hline \text{Sustitución:} & (x + y)^3 + 2 = 10 \\ \hline \end{array} \end{array} $$
$$ \boxed{x + y = 2} $$
Para resolver este sistema, buscaremos relacionar ambas ecuaciones utilizando productos notables. Notamos que la segunda ecuación contiene una diferencia de cuadrados, la cual podemos descomponer.
2. Simplificación de la Segunda Ecuación
Aplicamos la identidad de diferencia de cuadrados $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ en la (Ec. 2):
$$ (x - y) \underbrace{(x^2 - y^2)}_{(x - y)(x + y)} = 2 $$
$$ (x - y)(x - y)(x + y) = 2 $$
$$ (x - y)^2 (x + y) = 2 \quad \text{--- (Ec. 3)} $$
3. Transformación de la Primera Ecuación
Trabajaremos con la (Ec. 1) intentando expresar el término $(x^2 + y^2)$ en función de las sumas y diferencias. Recordemos que:
$$ \begin{array}{rcl} (x + y)^2 & = & x^2 + y^2 + 2xy \\ (x - y)^2 & = & x^2 + y^2 - 2xy \end{array} $$
Al sumar estas dos identidades, obtenemos:
$$ (x + y)^2 + (x - y)^2 = 2(x^2 + y^2) $$
$$ \frac{(x + y)^2 + (x - y)^2}{2} = x^2 + y^2 $$
Sustituimos esta expresión en la (Ec. 1):
$$ (x + y) \left[ \frac{(x + y)^2 + (x - y)^2}{2} \right] = 5 $$
Multiplicamos toda la ecuación por $2$ para eliminar el denominador:
$$ (x + y) \left[ (x + y)^2 + (x - y)^2 \right] = 10 $$
Distribuimos el término $(x + y)$:
$$ (x + y)^3 + (x + y)(x - y)^2 = 10 \quad \text{--- (Ec. 4)} $$
4. Resolución por Sustitución
Observemos que en el paso 2 obtuvimos la (Ec. 3): $(x + y)(x - y)^2 = 2$. Este término aparece exactamente igual en nuestra nueva (Ec. 4). Sustituimos el valor:
$$ (x + y)^3 + 2 = 10 $$
Ahora despejamos el término buscado:
$$ (x + y)^3 = 10 - 2 $$
$$ (x + y)^3 = 8 $$
Aplicamos raíz cúbica en ambos lados:
$$ x + y = \sqrt[3]{8} $$
$$ x + y = 2 $$
5. Conclusión
El valor de la suma de las variables es constante y determinado por el sistema.
Representación Conceptual:
$$ \begin{array}{c} \text{Resumen de la reducción algebraica} \\ \hline \begin{array}{|l|l|} \hline \text{De Ec. 2:} & (x + y)(x - y)^2 = 2 \\ \hline \text{De Ec. 1:} & (x + y)^3 + (x + y)(x - y)^2 = 10 \\ \hline \text{Sustitución:} & (x + y)^3 + 2 = 10 \\ \hline \end{array} \end{array} $$
$$ \boxed{x + y = 2} $$