1. Relación entre $x, z$ y $y$:

Factorizamos la diferencia de cuadrados en la ecuación (2):
$$ (x - z)(x + z) = 3y^4 \quad (4) $$

Sustituimos el valor de $(x-z)$ de la ecuación (1) en (4):
$$ y^2 (x + z) = 3y^4 $$

Si $y=0$, de (1) $x=z$, y de (3) $2x=26 \implies x=13, z=13$. Solución: $(13, 0, 13)$.
Si $y \neq 0$, simplificamos $y^2$:
$$ x + z = 3y^2 \quad (5) $$

2. Despeje de variables en función de $y$:

Tenemos un subsistema con (1) y (5):
$$ \begin{cases} x - z = y^2 \\ x + z = 3y^2 \end{cases} $$
Sumando ambas: $2x = 4y^2 \implies x = 2y^2$.
Restando ambas: $2z = 2y^2 \implies z = y^2$.

3. Resolución para $y$:

Sustituimos $x$ y $z$ en la ecuación (3):
$$ y^3 + 3y + 2y^2 + y^2 = 26 $$
$$ y^3 + 3y^2 + 3y = 26 $$
Sumamos 1 a ambos lados para completar el cubo de un binomio:
$$ y^3 + 3y^2 + 3y + 1 = 26 + 1 $$
$$ (y + 1)^3 = 27 $$
$$ y + 1 = 3 \implies y = 2 $$

4. Cálculo final:
Si $y = 2$:
$$ x = 2(2^2) = 8 $$
$$ z = 2^2 = 4 $$

Resultado:
$$ \boxed{ (x, y, z) \in \{ (13, 0, 13), (8, 2, 4) \} $$