1. Uso de identidades algebraicas:

Recordamos la suma de cubos: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Sustituimos los valores conocidos de las ecuaciones (1), (2) y (3):
$$ 9z = (3z)(5z - xy) $$

Si $z=0$, entonces $x+y=0$ y $x^2+y^2=0$, lo que implica $x=0, y=0$. La solución es $(0,0,0)$.
Si $z \neq 0$, simplificamos por $3z$:
$$ 3 = 5z - xy \implies xy = 5z - 3 \quad (4) $$

2. Construcción de la ecuación para $z$:

De la identidad $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$, sustituimos (1), (2) y (4):
$$ (3z)^2 = 5z + 2(5z - 3) $$
$$ 9z^2 = 5z + 10z - 6 $$
$$ 9z^2 - 15z + 6 = 0 $$
Dividiendo entre 3:
$$ 3z^2 - 5z + 2 = 0 $$

Resolvemos la ecuación cuadrática por factorización:
$$ (3z - 2)(z - 1) = 0 \implies z = 1 \quad \text{o} \quad z = \frac{2}{3} $$

3. Cálculo de $x$ e $y$:

Caso 1: $z=1$
$x+y = 3(1) = 3$ y $xy = 5(1)-3 = 2$.
Formamos la ecuación $t^2 - 3t + 2 = 0 \implies (t-1)(t-2)=0$.
Obtenemos $(x,y) = (1,2)$ o $(2,1)$.

Caso 2: $z = 2/3$
$x+y = 3(2/3) = 2$ y $xy = 5(2/3)-3 = 10/3 - 9/3 = 1/3$.
Formamos $t^2 - 2t + 1/3 = 0 \implies 3t^2 - 6t + 1 = 0$.
Por fórmula general: $t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Resultado Final:
$$ \boxed{ (x, y, z) \in \left\{ (0,0,0), (1,2,1), (2,1,1), \left( 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}, 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{2}{3} \right), \left( 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}, 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{2}{3} \right) \right\} $$