1. Transformación de la primera ecuación:
Tomamos la primera ecuación y buscamos un denominador común:
$$ \frac{yz + xz + xy}{xyz} = \frac{7}{2} $$
De la tercera ecuación sabemos que $xyz = 1$, por lo tanto:
$$ xy + yz + zx = \frac{7}{2} $$

2. Identificación de las sumas de Vieta:
Ahora tenemos los tres componentes necesarios para construir una ecuación polinómica cuyas raíces sean $x, y, z$:
$$ \begin{array}{ll} \text{Suma de raíces (S_1):} & x + y + z = \dfrac{7}{2} \\ \text{Suma de productos binarios (S_2):} & xy + yz + zx = \dfrac{7}{2} \\ \text{Producto de raíces (S_3):} & xyz = 1 \end{array} $$

La ecuación cúbica asociada es:
$$ t^3 - \left( \frac{7}{2} \right) t^2 + \left( \frac{7}{2} \right) t - 1 = 0 $$
Multiplicamos toda la ecuación por 2 para eliminar denominadores:
$$ 2t^3 - 7t^2 + 7t - 2 = 0 $$

3. Resolución de la ecuación cúbica:
Probamos raíces enteras sencillas mediante el teorema del resto. Si $t = 1$:
$$ 2(1)^3 - 7(1)^2 + 7(1) - 2 = 2 - 7 + 7 - 2 = 0 $$
Como $t = 1$ es raíz, $(t-1)$ es un factor. Realizamos la división:
$$ 2t^2(t-1) - 5t(t-1) + 2(t-1) = 0 $$
$$ (t-1)(2t^2 - 5t + 2) = 0 $$

Ahora resolvemos la ecuación cuadrática $2t^2 - 5t + 2 = 0$ mediante la fórmula general:
$$ t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(2)}}{2(2)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} $$
Las raíces son:
$$ t_2 = \frac{8}{4} = 2, \quad t_3 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

Las raíces del sistema son $1, 2$ y $1/2$.

Conclusión:
Dado que el sistema es simétrico, las soluciones son todas las permutaciones de los valores hallados:
$$ \boxed{(x, y, z) \in \left\{ \left( 1, 2, \frac{1}{2} \right), \left( 1, \frac{1}{2}, 2 \right), \left( 2, 1, \frac{1}{2} \right), \left( 2, \frac{1}{2}, 1 \right), \left( \frac{1}{2}, 1, 2 \right), \left( \frac{1}{2}, 2, 1 \right) \right\}} $$