1. Análisis de los datos:
El sistema presenta una estructura donde las variables aparecen combinadas de forma recíproca. Una técnica eficiente es invertir cada ecuación para linealizar el sistema respecto a los inversos de las variables.

2. Transformación del sistema:
$$ \begin{array}{rll} (1) \quad \dfrac{x+y}{3xy} = \dfrac{1}{2} & \Rightarrow \dfrac{x}{3xy} + \dfrac{y}{3xy} = \dfrac{1}{2} & \Rightarrow \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{2} \\ (2) \quad \dfrac{x+z}{4xz} = \dfrac{1}{3} & \Rightarrow \dfrac{x}{4xz} + \dfrac{z}{4xz} = \dfrac{1}{3} & \Rightarrow \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{4}{3} \\ (3) \quad \dfrac{y+z}{5yz} = \dfrac{1}{6} & \Rightarrow \dfrac{y}{5yz} + \dfrac{z}{5yz} = \dfrac{1}{6} & \Rightarrow \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{6} \end{array} $$

3. Cambio de variable:
Definimos $a = \frac{1}{x}$, $b = \frac{1}{y}$, $c = \frac{1}{z}$. El sistema se reduce a:
$$ \begin{cases} b + a = \frac{3}{2} & (\alpha) \\ c + a = \frac{4}{3} & (\beta) \\ c + b = \frac{5}{6} & (\gamma) \end{cases} $$

4. Resolución del sistema lineal:
Sumamos las tres ecuaciones $(\alpha) + (\beta) + (\gamma)$:
$$ 2(a + b + c) = \frac{3}{2} + \frac{4}{3} + \frac{5}{6} $$
Calculamos el denominador común ($6$):
$$ 2(a + b + c) = \frac{9 + 8 + 5}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \Rightarrow a + b + c = \frac{11}{6} $$

Ahora restamos cada ecuación original de la suma total para hallar cada variable:

• Para $a$: $(a+b+c) - (c+b) = \frac{11}{6} - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1 \Rightarrow a = 1$
• Para $b$: $(a+b+c) - (c+a) = \frac{11}{6} - \frac{4}{3} = \frac{11-8}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{1}{2}$
• Para $c$: $(a+b+c) - (b+a) = \frac{11}{6} - \frac{3}{2} = \frac{11-9}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \Rightarrow c = \frac{1}{3}$

5. Retorno a las variables originales:
Dado que $a = 1/x$, $b = 1/y$ y $c = 1/z$:
$$ x = \frac{1}{a} = 1, \quad y = \frac{1}{b} = 2, \quad z = \frac{1}{c} = 3 $$

Resultado final:
$$ \boxed{x = 1; \quad y = 2; \quad z = 3} $$