1. Datos y fórmulas útiles:
Contamos con una suma simple, una suma de cuadrados y una relación de progresión geométrica ($y^2 = xz$). Utilizaremos la identidad del trinomio al cuadrado:
$$ (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) $$

2. Desarrollo paso a paso:
Elevamos la primera ecuación al cuadrado:
$$ (x + y + z)^2 = 13^2 \implies x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 169 $$

Sustituimos el valor de la segunda ecuación ($x^2 + y^2 + z^2 = 91$):
$$ 91 + 2(xy + yz + zx) = 169 $$
$$ 2(xy + yz + zx) = 169 - 91 = 78 \implies xy + yz + zx = 39 $$

Factorizamos $y$ en los dos primeros términos:
$$ y(x + z) + zx = 39 $$

De la tercera ecuación sabemos que $zx = y^2$ y de la primera que $x + z = 13 - y$. Sustituimos:
$$ y(13 - y) + y^2 = 39 $$
$$ 13y - y^2 + y^2 = 39 \implies 13y = 39 \implies y = 3 $$

Ahora calculamos $x$ y $z$ usando $y=3$:
$$ x + z = 13 - 3 = 10 $$
$$ xz = 3^2 = 9 $$

Buscamos dos números que sumados den 10 y multiplicados den 9. Estos son las raíces de la ecuación $t^2 - 10t + 9 = 0$:
$$ (t - 9)(t - 1) = 0 \implies t_1 = 9, t_2 = 1 $$

3. Resultado final:
$$ \boxed{ (x,y,z) = (1, 3, 9) \quad \text{o} \quad (x,y,z) = (9, 3, 1) } $$