1. Despeje y sustitución:
De la ecuación (1), tenemos que $(y + z) = 6 - x$. Sustituimos en (2):
$$ x(6 - x) = 5 \implies 6x - x^2 = 5 \implies x^2 - 6x + 5 = 0 $$
Factorizando: $(x - 5)(x - 1) = 0$.
Por lo tanto, $x = 1$ o $x = 5$.

De la ecuación (1), tenemos que $(x + z) = 6 - y$. Sustituimos en (3):
$$ y(6 - y) = 8 \implies 6y - y^2 = 8 \implies y^2 - 6y + 8 = 0 $$
Factorizando: $(y - 4)(y - 2) = 0$.
Por lo tanto, $y = 2$ o $y = 4$.

2. Determinación de $z$:
Utilizamos $z = 6 - x - y$ para cada combinación de $x$ e $y$:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z = 6 - x - y & \text{Verificación en (2) y (3)} \\ \hline 1 & 2 & 3 & 1(2+3)=5; \ 2(1+3)=8 \ (\text{Correcto}) \\ \hline 1 & 4 & 1 & 1(4+1)=5; \ 4(1+1)=8 \ (\text{Correcto}) \\ \hline 5 & 2 & -1 & 5(2-1)=5; \ 2(5-1)=8 \ (\text{Correcto}) \\ \hline 5 & 4 & -3 & 5(4-3)=5; \ 4(5-3)=8 \ (\text{Correcto}) \\ \hline \end{array} $$

3. Resultado final:
Las soluciones son las ternas ordenadas $(x, y, z)$:
$$ \boxed{(x, y, z) \in \{(1, 2, 3); (1, 4, 1); (5, 2, -1); (5, 4, -3)\}} $$