1. Análisis de igualdad entre variables

Restamos la ecuación (2) de la (1):
$$ (y + z) - (z + x) = xyz - xyz $$
$$ y - x = 0 \implies x = y $$

Restamos la ecuación (3) de la (2):
$$ (z + x) - (x + y) = xyz - xyz $$
$$ z - y = 0 \implies y = z $$

Por lo tanto, se cumple la condición de simetría total:
$$ x = y = z $$

2. Sustitución en el sistema original

Sustituyendo $y=x$ y $z=x$ en la ecuación (1):
$$ x + x = x \cdot x \cdot x $$
$$ 2x = x^3 $$

3. Resolución de la ecuación resultante

Transponemos términos para factorizar:
$$ x^3 - 2x = 0 $$
$$ x(x^2 - 2) = 0 $$

Esto nos da dos posibilidades para $x$:

• Caso 1: $x = 0$
  Como $x=y=z$, la solución es $(0, 0, 0)$.
• Caso 2: $x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2$
  Esto resulta en $x = \sqrt{2}$ o $x = -\sqrt{2}$.

4. Consolidación de soluciones

Como los valores de $y$ y $z$ deben ser iguales a $x$, obtenemos las ternas solución:
1. Si $x = 0 \implies (0, 0, 0)$
2. Si $x = \sqrt{2} \implies (\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{2})$
3. Si $x = -\sqrt{2} \implies (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}, -\sqrt{2})$

Resultado final:
$$ \boxed{(x, y, z) \in \{(0, 0, 0), (\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{2}), (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}, -\sqrt{2})\}} $$