1. Cambio de variables:
Utilizaremos las variables simétricas $u = x + y$ y $v = xy$. Recordemos las identidades:
$$ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v \\ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = u(u^2 - 3v) \end{array} $$

2. Transformación del sistema:
Sustituimos en la primera ecuación:
$$ u^2 - 2v = 7 + v \implies u^2 - 3v = 7 \quad \text{--- (Ec. 1)} $$
De aquí observamos que $u^2 - 3v = 7$. Sustituimos esto en la segunda ecuación:
$$ u(u^2 - 3v) = 6v - 1 \implies u(7) = 6v - 1 \implies 7u = 6v - 1 \quad \text{--- (Ec. 2)} $$

3. Resolución del nuevo sistema:
Despejamos $v$ de la Ec. 2: $v = \frac{7u + 1}{6}$. Sustituimos en la Ec. 1:
$$ u^2 - 3\left(\frac{7u + 1}{6}\right) = 7 \implies u^2 - \frac{7u + 1}{2} = 7 $$
Multiplicamos por 2 para eliminar la fracción:
$$ 2u^2 - 7u - 1 = 14 \implies 2u^2 - 7u - 15 = 0 $$
Factorizamos la ecuación cuadrática: $(2u + 3)(u - 5) = 0$. Obtenemos dos casos:

• Caso 1: $u = 5$. Entonces $v = \frac{7(5) + 1}{6} = \frac{36}{6} = 6$.
• Caso 2: $u = -\frac{3}{2}$. Entonces $v = \frac{7(-3/2) + 1}{6} = \frac{-21/2 + 2/2}{6} = -\frac{19}{12}$.

4. Hallar $x$ e $y$ para el Caso 1 ($x+y=5, xy=6$):
Los valores son las raíces de $t^2 - 5t + 6 = 0 \implies (t-2)(t-3)=0$.
Soluciones: $(2, 3)$ y $(3, 2)$.

5. Resultado final:
$$ \boxed{(x, y) \in \{(2, 3), (3, 2)\}} $$