1. Planteamiento:
Sea $s = x + y$ y $p = xy$.
La primera ecuación se escribe como:
$$ ps = 20 \quad \text{(i)} $$
La segunda ecuación se simplifica como:
$$ \frac{x + y}{xy} = \frac{5}{4} \implies \frac{s}{p} = \frac{5}{4} \implies s = \frac{5}{4}p \quad \text{(ii)} $$

2. Resolución para $p$ y $s$:
Sustituimos (ii) en (i):
$$ p \left( \frac{5}{4}p \right) = 20 \implies \frac{5}{4}p^2 = 20 $$
$$ p^2 = \frac{20 \cdot 4}{5} = 16 \implies p = \pm 4 $$

Caso 1: $p = 4$
Si $p = 4$, entonces $s = \frac{5}{4}(4) = 5$.
Resolvemos $t^2 - 5t + 4 = 0 \implies (t - 4)(t - 1) = 0$.
Soluciones: $(4, 1)$ y $(1, 4)$.

Caso 2: $p = -4$
Si $p = -4$, entonces $s = \frac{5}{4}(-4) = -5$.
Resolvemos $t^2 + 5t - 4 = 0$.
Usando la fórmula general:
$$ t = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2} $$

Resultado final:
Las soluciones reales $(x, y)$ son:
$$ \boxed{(4, 1), (1, 4), \left( \frac{-5+\sqrt{41}}{2}, \frac{-5-\sqrt{41}}{2} \right), \left( \frac{-5-\sqrt{41}}{2}, \frac{-5+\sqrt{41}}{2} \right)} $$