1. Identificación de variables y fórmulas:
Utilizaremos el método de cambio de variable para simplificar el sistema. Definimos:
$$ s = x + y, \quad p = xy $$
Recordamos la identidad de la suma de cubos:
$$ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)((x + y)^2 - 3xy) = s(s^2 - 3p) $$

2. Transformación del sistema:
Sustituimos $s$ y $p$ en las ecuaciones originales:
$$ \begin{cases} s(s^2 - 3p) = 19 \quad \text{(i)} \\ (p + 8)s = 2 \quad \text{(ii)} \end{cases} $$

De la ecuación (ii), despejamos el producto $ps$:
$$ ps + 8s = 2 \implies ps = 2 - 8s $$

Sustituimos esto en la ecuación (i) expandida ($s^3 - 3ps = 19$):
$$ s^3 - 3(2 - 8s) = 19 $$
$$ s^3 - 6 + 24s = 19 $$
$$ s^3 + 24s - 25 = 0 $$

3. Resolución para $s$:
Por inspección, observamos que $s = 1$ es una raíz, ya que $1^3 + 24(1) - 25 = 0$.
Factorizando mediante la regla de Ruffini o división polinomial:
$$ (s - 1)(s^2 + s + 25) = 0 $$
Para el factor cuadrático $s^2 + s + 25$, el discriminante es $\Delta = 1^2 - 4(1)(25) = -99 < 0$, por lo que no aporta soluciones reales adicionales para $s$. Por lo tanto, el único valor real es $s = 1$.

4. Cálculo de $p$:
Sustituimos $s = 1$ en la ecuación (ii):
$$ (p + 8)(1) = 2 \implies p = -6 $$

5. Obtención de $x$ e $y$:
Ahora resolvemos el sistema básico:
$$ \begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -6 \end{cases} $$
Estos valores son las raíces de la ecuación cuadrática $t^2 - st + p = 0$:
$$ t^2 - t - 6 = 0 \implies (t - 3)(t + 2) = 0 $$
Las soluciones para $t$ son $t_1 = 3$ y $t_2 = -2$.

Resultado final:
Las soluciones reales $(x, y)$ son:
$$ \boxed{(3, -2), (-2, 3)} $$