1. Uso de variables auxiliares (Sustitución de Vieta):
Dado que el sistema es simétrico, definimos:
$$ u = x + y, \quad v = xy $$
Recordemos que $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.

Reescribimos el sistema en términos de $u$ y $v$:
$$ \begin{cases} u^2 - 2v = 34 \quad \text{(Ecuación A)} \\ u + v = 23 \quad \text{(Ecuación B)} \end{cases} $$

2. Resolución del sistema auxiliar:
De la Ecuación B despejamos $v$:
$$ v = 23 - u $$
Sustituimos en la Ecuación A:
$$ u^2 - 2(23 - u) = 34 $$
$$ u^2 - 46 + 2u = 34 \implies u^2 + 2u - 80 = 0 $$
Factorizamos el trinomio:
$$ (u + 10)(u - 8) = 0 $$
Obtenemos dos valores para la suma $u$:

• $u_1 = 8 \implies v_1 = 23 - 8 = 15$
• $u_2 = -10 \implies v_2 = 23 - (-10) = 33$

3. Hallar los valores de $x$ e $y$:
Los valores $x$ e $y$ son las raíces de la ecuación cuadrática $t^2 - ut + v = 0$.

Caso 1 ($u = 8, v = 15$):
$$ t^2 - 8t + 15 = 0 \implies (t - 3)(t - 5) = 0 $$
Raíces: $t = 3$ y $t = 5$. Esto nos da las soluciones $(3, 5)$ y $(5, 3)$.

Caso 2 ($u = -10, v = 33$):
$$ t^2 + 10t + 33 = 0 $$
Calculamos el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$):
$$ \Delta = 10^2 - 4(1)(33) = 100 - 132 = -32 $$
Como el discriminante es negativo, no hay soluciones reales en este caso.

Resultado final:
$$ \boxed{(x, y) \in \{(3, 5), (5, 3)\}} $$