1. Cambio de variables:
Sea $u = x^2 + y^2$ y $v = xy$.
Expresamos la primera ecuación en términos de $u$ y $v$:
$$ x^4 + 6x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 + 6x^2y^2 = u^2 + 4v^2 $$
Expresamos la segunda ecuación:
$$ x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2) = v \cdot u $$

El sistema se transforma en:
$$ \begin{cases} u^2 + 4v^2 = 136 & (1) \\ uv = 30 & (2) \end{cases} $$

2. Resolución del sistema auxiliar:
De (2), $u = \frac{30}{v}$. Sustituimos en (1):
$$ \left(\frac{30}{v}\right)^2 + 4v^2 = 136 \implies \frac{900}{v^2} + 4v^2 = 136 $$
Multiplicamos por $v^2$ y dividimos entre 4:
$$ v^4 - 34v^2 + 225 = 0 $$
Factorizamos como una ecuación cuadrática en $v^2$:
$$ (v^2 - 9)(v^2 - 25) = 0 $$

3. Análisis de valores de $v$:

• Si $v^2 = 9$: $v = 3$ o $v = -3$.




• Si $v = 3$, $u = 30/3 = 10$. Tenemos $x^2 + y^2 = 10$ y $xy = 3$.

$(x+y)^2 = 10 + 6 = 16 \implies x+y = \pm 4$.
$(x-y)^2 = 10 - 6 = 4 \implies x-y = \pm 2$.
Esto nos da los pares: $(3, 1), (1, 3), (-3, -1), (-1, -3)$.

• Si $v = -3$, $u = 30/(-3) = -10$. Como $x^2 + y^2 = -10$ no tiene soluciones reales, se descarta.

• Si $v^2 = 25$: $v = 5$ o $v = -5$.




• Si $v = 5$, $u = 30/5 = 6$. Tenemos $x^2 + y^2 = 6$ y $xy = 5$.

$(x-y)^2 = 6 - 10 = -4$. No hay soluciones reales.

• Si $v = -5$, $u = -6$. No hay soluciones reales.

4. Resumen de soluciones reales:
$$ \boxed{ (3, 1), (1, 3), (-3, -1), (-1, -3) $$