1. Factorización y simplificación:
Factorizamos ambas ecuaciones:
$$ \begin{cases} (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 15 & (1) \\ xy(x^2 - y^2) = 6 & (2) \end{cases} $$

2. Relación entre variables:
$$ \frac{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)}{xy(x^2 - y^2)} = \frac{15}{6} \implies \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{5}{2} $$
Multiplicando en cruz:
$$ 2x^2 + 2y^2 = 5xy \implies 2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0 $$
Factorizamos el trinomio:
$$ (2x - y)(x - 2y) = 0 $$
Esto nos da dos caminos: $y = 2x$ o $x = 2y$.

3. Sustitución en la ecuación (2):

• Si $x = 2y$:

$$ (2y)y((2y)^2 - y^2) = 6 \implies 2y^2(4y^2 - y^2) = 6 \implies 6y^4 = 6 \implies y^4 = 1 $$
Para soluciones reales: $y = 1$ (entonces $x=2$) o $y = -1$ (entonces $x=-2$).
Para soluciones complejas: $y = i$ (entonces $x=2i$) o $y = -i$ (entonces $x=-2i$).

• Si $y = 2x$:

$$ x(2x)(x^2 - (2x)^2) = 6 \implies 2x^2(x^2 - 4x^2) = 6 \implies -6x^4 = 6 \implies x^4 = -1 $$
Esto genera soluciones puramente complejas de la forma $x = \pm \frac{1 \pm i}{\sqrt{2}}$.

4. Conclusión:
Presentamos las soluciones principales (reales e imaginarias puras derivadas de $y^4=1$).

$$ \boxed{ (2, 1), (-2, -1), (2i, i), (-2i, -i) $$