1. Análisis de la primera ecuación:
Sea $a = \frac{x+y}{x-y}$. La primera ecuación se reescribe como:
$$ a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2} \implies 2a^2 - 5a + 2 = 0 $$
Factorizando:
$$ (2a - 1)(a - 2) = 0 $$
Obtenemos dos valores para $a$: $a_1 = 2$ y $a_2 = 1/2$.

2. Desarrollo por casos:

Caso 1: $a = 2$
$$ \frac{x+y}{x-y} = 2 \implies x+y = 2x-2y \implies x = 3y $$
Sustituimos en la segunda ecuación ($x^2 + y^2 = 20$):
$$ (3y)^2 + y^2 = 20 \implies 10y^2 = 20 \implies y^2 = 2 $$
Resultados: $y = \pm \sqrt{2}$. Si $y=\sqrt{2}, x=3\sqrt{2}$. Si $y=-\sqrt{2}, x=-3\sqrt{2}$.

Caso 2: $a = 1/2$
$$ \frac{x+y}{x-y} = \frac{1}{2} \implies 2x+2y = x-y \implies x = -3y $$
Sustituimos en $x^2 + y^2 = 20$:
$$ (-3y)^2 + y^2 = 20 \implies 10y^2 = 20 \implies y^2 = 2 $$
Resultados: $y = \pm \sqrt{2}$. Si $y=\sqrt{2}, x=-3\sqrt{2}$. Si $y=-\sqrt{2}, x=3\sqrt{2}$.

Resultado Final:
$$ \boxed{(x, y) \in \left\{ (3\sqrt{2}, \sqrt{2}), (-3\sqrt{2}, -\sqrt{2}), (-3\sqrt{2}, \sqrt{2}), (3\sqrt{2}, -\sqrt{2}) \right\}} $$