1. Cambio de variable:
Dada la estructura simétrica del sistema, definimos:
$$ u = x^2 + y^2 \quad \text{y} \quad v = xy $$
El sistema se transforma en un sistema lineal de dos variables:
$$ \begin{cases} 5u - 6v = 29 \quad \text{(3)} \\ 7u - 8v = 43 \quad \text{(4)} \end{cases} $$

2. Resolución del sistema lineal:
Multiplicamos la ecuación (3) por 4 y la ecuación (4) por $-3$ para eliminar $v$:
$$ \begin{cases} 20u - 24v = 116 \\ -21u + 24v = -129 \end{cases} $$
Sumando ambas ecuaciones:
$$ -u = -13 \implies u = 13 $$
Sustituimos $u = 13$ en la ecuación (3):
$$ 5(13) - 6v = 29 \implies 65 - 6v = 29 \implies 6v = 36 \implies v = 6 $$

3. Cálculo de $x$ e $y$:
Ahora tenemos:
$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = 6 \end{cases} $$
Utilizamos productos notables para hallar la suma y diferencia de las incógnitas:

• $(x+y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 13 + 2(6) = 25 \implies x+y = \pm 5$
• $(x-y)^2 = (x^2 + y^2) - 2xy = 13 - 2(6) = 1 \implies x-y = \pm 1$

Resolviendo para cada combinación:

• Si $x+y=5$ y $x-y=1$, entonces $x=3, y=2$.
• Si $x+y=5$ y $x-y=-1$, entonces $x=2, y=3$.
• Si $x+y=-5$ y $x-y=1$, entonces $x=-2, y=-3$.
• Si $x+y=-5$ y $x-y=-1$, entonces $x=-3, y=-2$.

Conclusión:
El conjunto solución es:
$$ \boxed{(3, 2), (2, 3), (-2, -3), (-3, -2)} $$