1. Identificación del método:
El sistema presenta simetría en los términos cuadráticos $x^2$ y $y^2$. Podemos intentar eliminar estos términos mediante una combinación lineal para encontrar una relación más sencilla entre $x$ e $y$.

2. Reducción del sistema:
Multiplicamos la ecuación (1) por $-3$ para igualar los coeficientes de $x^2$ y $y^2$ con los de la ecuación (2):
$$ -3(x^2 - 3xy + y^2) = -3(-1) \implies -3x^2 + 9xy - 3y^2 = 3 \quad \text{(3)} $$
Sumamos la ecuación (2) y la ecuación (3):
$$ \begin{array}{rrcrcrcr} (3x^2 & - & xy & + & 3y^2) & = & 13 & \\ + (-3x^2 & + & 9xy & - & 3y^2) & = & 3 & \\ \hline & & 8xy & & & = & 16 & \end{array} $$
Despejamos el producto $xy$:
$$ xy = \frac{16}{8} \implies xy = 2 $$

3. Sustitución y cálculo de la suma de cuadrados:
Sustituimos $xy = 2$ en la ecuación (1):
$$ x^2 - 3(2) + y^2 = -1 \implies x^2 + y^2 - 6 = -1 $$
$$ x^2 + y^2 = 5 $$

4. Obtención de los valores de $x$ e $y$:
Conocemos $x^2 + y^2 = 5$ y $xy = 2$. Podemos formar un sistema auxiliar usando productos notables:

• $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 5 + 2(2) = 9 \implies x + y = \pm 3$
• $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 5 - 2(2) = 1 \implies x - y = \pm 1$

1. $x+y=3$ y $x-y=1 \implies 2x=4 \implies x=2, y=1$
2. $x+y=3$ y $x-y=-1 \implies 2x=2 \implies x=1, y=2$
3. $x+y=-3$ y $x-y=1 \implies 2x=-2 \implies x=-1, y=-2$
4. $x+y=-3$ y $x-y=-1 \implies 2x=-4 \implies x=-2, y=-1$

Conclusión:
Las soluciones del sistema son los pares ordenados:
$$ \boxed{(2, 1), (1, 2), (-1, -2), (-2, -1)} $$