1. Análisis inicial:
Observamos que ambas ecuaciones contienen los términos $xy$ y términos con $y^2$. Podemos intentar eliminar el término lineal $xy$ restando las ecuaciones.

2. Eliminación de $xy$:
Restamos la ecuación (1) de la ecuación (2):
$$ [y^2 (3x^2 - 6) + xy + 2] - [y^2 (x^2 - 3) + xy + 1] = 0 - 0 $$
Simplificando términos:
$$ y^2 (3x^2 - 6 - x^2 + 3) + 1 = 0 $$
$$ y^2 (2x^2 - 3) + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 = \frac{-1}{2x^2 - 3} = \frac{1}{3 - 2x^2} \quad \text{(3)} $$

3. Relación entre $x$ e $y$:
De la ecuación (1), despejamos $xy$:
$$ xy = -1 - y^2 (x^2 - 3) $$
Sustituimos la expresión de $y^2$ obtenida en (3):
$$ xy = -1 - \left( \frac{1}{3 - 2x^2} \right) (x^2 - 3) = \frac{-(3 - 2x^2) - (x^2 - 3)}{3 - 2x^2} $$
$$ xy = \frac{-3 + 2x^2 - x^2 + 3}{3 - 2x^2} = \frac{x^2}{3 - 2x^2} \quad \text{(4)} $$

4. Resolución para $x$:
Elevamos al cuadrado la ecuación (4) para obtener $x^2 y^2$ y comparamos con $x^2 \cdot (\text{ecuación 3})$:
$$ (xy)^2 = x^2 y^2 \quad \Rightarrow \quad \left( \frac{x^2}{3 - 2x^2} \right)^2 = x^2 \left( \frac{1}{3 - 2x^2} \right) $$
Esto nos da dos posibilidades:

• Caso 1: $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.
  Sustituyendo en (3): $y^2 = 1/3 \Rightarrow y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• Caso 2: $x^2 \neq 0$. Dividimos por $x^2$:
  $$ \frac{x^2}{(3 - 2x^2)^2} = \frac{1}{3 - 2x^2} \quad \Rightarrow \quad x^2 = 3 - 2x^2 $$
  $$ 3x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 $$

5. Determinación de los valores de $y$:

• Si $x = 1$, de (4): $1 \cdot y = \frac{1^2}{3 - 2(1)^2} = \frac{1}{1} \Rightarrow y = 1$.
• Si $x = -1$, de (4): $(-1) \cdot y = \frac{(-1)^2}{3 - 2(-1)^2} = \frac{1}{1} \Rightarrow y = -1$.

6. Conclusión:
Las soluciones del sistema son:
$$ \boxed{ \begin{array}{l} (x_1, y_1) = (0, \frac{\sqrt{3}}{3}) \\ (x_2, y_2) = (0, -\frac{\sqrt{3}}{3}) \\ (x_3, y_3) = (1, 1) \\ (x_4, y_4) = (-1, -1) \end{array} $$

Representación visual de las soluciones:
El sistema representa la intersección de dos curvas cuárticas. Los puntos de contacto se resumen en:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0 & 1 & -1 \\ \hline y & \sqrt{3}/3 & -\sqrt{3}/3 & 1 & -1 \\ \hline \end{array} $$