1. Transformación de la primera ecuación:
Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación (1) para relacionarla con la ecuación (2):
$$ (x - y)^2 = \left( \frac{1}{4} xy \right)^2 \implies x^2 - 2xy + y^2 = \frac{1}{16} x^2 y^2 $$

2. Sustitución de la segunda ecuación:
Sabemos por la ecuación (2) que $x^2 + y^2 = \frac{5}{2} xy$. Sustituimos esto en nuestra expresión anterior:
$$ \frac{5}{2} xy - 2xy = \frac{1}{16} (xy)^2 $$
Simplificamos el lado izquierdo:
$$ \frac{1}{2} xy = \frac{1}{16} (xy)^2 $$

3. Resolución para el producto $xy$:
Sea $u = xy$:
$$ \frac{1}{2} u = \frac{1}{16} u^2 \implies 8u = u^2 \implies u^2 - 8u = 0 $$
$$ u(u - 8) = 0 \implies u_1 = 0, \quad u_2 = 8 $$

4. Análisis de casos:
Caso A: $xy = 0$
Sustituyendo en (1): $x - y = 0 \implies x = y$. Si $x \cdot x = 0$, entonces $x = 0$ y $y = 0$.
Solución: $(0, 0)$.

Caso B: $xy = 8$
Sustituyendo en (1): $x - y = \frac{1}{4}(8) = 2 \implies x = y + 2$.
Sustituyendo en el producto: $(y + 2)y = 8 \implies y^2 + 2y - 8 = 0$.
Factorizando:
$$ (y + 4)(y - 2) = 0 \implies y_1 = -4, \quad y_2 = 2 $$

• Si $y = -4$, entonces $x = -4 + 2 = -2$.


• Si $y = 2$, entonces $x = 2 + 2 = 4$.

5. Conclusión:
Las soluciones del sistema son:
$$ \boxed{(x, y) \in \{(0, 0), (4, 2), (-2, -4)\}} $$