1. Análisis de simetría:
Observamos que el sistema es simétrico. Si restamos las ecuaciones (1) y (2):
$$ (x + yz) - (y + zx) = 2 - 2 $$
$$ x - y + yz - zx = 0 $$
$$ (x - y) - z(x - y) = 0 \implies (x - y)(1 - z) = 0 $$
Esto nos indica que para que la igualdad se cumpla, debe ocurrir que $x = y$ o que $z = 1$.

2. Caso 1: $x = y = z$
Si todas las variables son iguales, sustituimos en la ecuación (1):
$$ x + x^2 = 2 \implies x^2 + x - 2 = 0 $$
Factorizando el trinomio:
$$ (x + 2)(x - 1) = 0 $$
$$ x_1 = 1, \quad x_2 = -2 $$
Como $x = y = z$, las ternas de solución son:
$$ (1, 1, 1) \quad \text{y} \quad (-2, -2, -2) $$

3. Caso 2: Una variable es igual a 1
Supongamos $z = 1$. Sustituyendo en el sistema original:
$$ \begin{cases} x + y(1) = 2 \implies x + y = 2 \\ y + (1)x = 2 \implies y + x = 2 \\ 1 + xy = 2 \implies xy = 1 \end{cases} $$
De $x + y = 2$, tenemos $y = 2 - x$. Sustituimos en $xy = 1$:
$$ x(2 - x) = 1 \implies 2x - x^2 = 1 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 $$
$$ (x - 1)^2 = 0 \implies x = 1 $$
Si $x = 1$, entonces $y = 2 - 1 = 1$. Esto nos devuelve a la solución $(1, 1, 1)$. Debido a la simetría, cualquier caso donde una variable sea 1 llevará al mismo resultado.

4. Resumen de resultados:
Los conjuntos de valores que satisfacen el sistema son:
$$ \boxed{(x, y, z) \in \{(1, 1, 1), (-2, -2, -2)\}} $$