1. Análisis de los datos:
Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Dos de ellas son lineales, lo que facilita expresar dos variables en función de una tercera para sustituirlas en la ecuación cuadrática.

2. Expresar $y$ y $z$ en función de $x$:
Trabajamos con las ecuaciones (2) y (3) para eliminar una variable, por ejemplo $z$.
Multiplicamos (2) por 2 y (3) por 3:
$$ \begin{array}{rll} 4x - 2y + 6z &= 22 & (2') \\ 3x + 6y - 6z &= 3 & (3') \end{array} $$
Sumamos ambas ecuaciones:
$$ 7x + 4y = 25 \implies y = \frac{25 - 7x}{4} $$
Ahora sustituimos $y$ en la ecuación (2) para hallar $z$:
$$ 2x - \left( \frac{25 - 7x}{4} \right) + 3z = 11 $$
Multiplicamos todo por 4:
$$ 8x - 25 + 7x + 12z = 44 \implies 15x + 12z = 69 $$
Simplificamos dividiendo entre 3:
$$ 5x + 4z = 23 \implies z = \frac{23 - 5x}{4} $$

3. Sustitución en la ecuación cuadrática (1):
Sustituimos $y$ y $z$:
$$ x^2 + 3\left( \frac{25 - 7x}{4} \right)^2 - x\left( \frac{23 - 5x}{4} \right) = 6 $$
$$ x^2 + 3\left( \frac{625 - 350x + 49x^2}{16} \right) - \frac{23x - 5x^2}{4} = 6 $$
Multiplicamos toda la ecuación por 16 para eliminar denominadores:
$$ 16x^2 + 3(625 - 350x + 49x^2) - 4(23x - 5x^2) = 96 $$
$$ 16x^2 + 1875 - 1050x + 147x^2 - 92x + 20x^2 = 96 $$
Agrupamos términos semejantes:
$$ (16 + 147 + 20)x^2 + (-1050 - 92)x + (1875 - 96) = 0 $$
$$ 183x^2 - 1142x + 1779 = 0 $$

4. Resolución de la ecuación de segundo grado:
Usamos la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$$ x = \frac{1142 \pm \sqrt{(-1142)^2 - 4(183)(1779)}}{2(183)} = \frac{1142 \pm \sqrt{1304164 - 1302228}}{366} $$
$$ x = \frac{1142 \pm \sqrt{1936}}{366} = \frac{1142 \pm 44}{366} $$
Las soluciones para $x$ son:
$$ x_1 = \frac{1142 + 44}{366} = \frac{1186}{366} = \frac{593}{183}, \quad x_2 = \frac{1142 - 44}{366} = \frac{1098}{366} = 3 $$

5. Hallar los valores de $y$ y $z$:
Caso 1: $x = 3$
$$ y = \frac{25 - 7(3)}{4} = \frac{4}{4} = 1; \quad z = \frac{23 - 5(3)}{4} = \frac{8}{4} = 2 $$
Caso 2: $x = \frac{593}{183}$
$$ y = \frac{25 - 7(\frac{593}{183})}{4} = \frac{106}{183}; \quad z = \frac{23 - 5(\frac{593}{183})}{4} = \frac{311}{183} $$

6. Resultado final:
$$ \boxed{(x, y, z) = (3, 1, 2) \text{ y } \left( \frac{593}{183}, \frac{106}{183}, \frac{311}{183} \right)} $$