1. Análisis de las ecuaciones:
La primera ecuación representa una circunferencia y la segunda una línea recta. Resolver el sistema equivale a encontrar los puntos donde la recta corta a la circunferencia.

2. Despeje de una variable:
De la segunda ecuación (la lineal), despejamos $y$:
$$ y = -x - 8 \quad \dots \text{(Ec. 3)} $$

3. Sustitución en la ecuación cuadrática:
Sustituimos la (Ec. 3) en la primera ecuación:
$$ x^2 + (-x - 8)^2 + 6x + 2(-x - 8) = 0 $$
Desarrollamos el binomio al cuadrado y los productos:
$$ x^2 + (x^2 + 16x + 64) + 6x - 2x - 16 = 0 $$
Agrupamos términos semejantes:
$$ 2x^2 + (16x + 6x - 2x) + (64 - 16) = 0 $$
$$ 2x^2 + 20x + 48 = 0 $$
Simplificamos dividiendo toda la ecuación entre 2:
$$ x^2 + 10x + 24 = 0 $$

4. Resolución de la ecuación de segundo grado:
Factorizamos el trinomio:
$$ (x + 6)(x + 4) = 0 $$
Obtenemos los valores para $x$:
$$ x_1 = -6, \quad x_2 = -4 $$

5. Cálculo de los valores correspondientes de $y$:
Sustituimos $x$ en la (Ec. 3):

• Para $x_1 = -6$: $y_1 = -(-6) - 8 = 6 - 8 = -2$


• Para $x_2 = -4$: $y_2 = -(-4) - 8 = 4 - 8 = -4$

6. Representación conceptual de la solución:
Los puntos de intersección se encuentran en:
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Punto} & x & y \\ \hline P_1 & -6 & -2 \\ P_2 & -4 & -4 \\ \hline \end{array} $$

Resultado final:
$$ \boxed{ S = \{(-6, -2), (-4, -4)\} } $$