1. Cambio de variables:
Sea $s = x + y$ y $p = \sqrt{xy}$. Notemos que $p^2 = xy$.
Reescribimos el sistema:
$$ \begin{cases} s + p = 7 \quad \text{--- (Ec. 1)} \\ x^2 + xy + y^2 = 21 \end{cases} $$

La expresión $x^2 + xy + y^2$ se puede escribir en términos de $s$ y $p$:
$$x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy = s^2 - p^2$$
Por lo tanto, la segunda ecuación es:
$$s^2 - p^2 = 21 \quad \text{--- (Ec. 2)}$$

2. Resolución del sistema para $s$ y $p$:
Podemos factorizar la diferencia de cuadrados en la Ec. 2:
$$(s - p)(s + p) = 21$$
Sustituimos la Ec. 1 ($s + p = 7$):
$$(s - p)(7) = 21 \implies s - p = 3$$
Ahora resolvemos el sistema lineal:
$$ \begin{cases} s + p = 7 \\ s - p = 3 \end{cases} $$
Sumando: $2s = 10 \implies s = 5$.
Restando: $2p = 4 \implies p = 2$.

3. Cálculo de $x$ e $y$:
Regresando a las variables originales:
$x + y = 5$
$\sqrt{xy} = 2 \implies xy = 4$

Estas son las raíces de la ecuación cuadrática $t^2 - st + xy = 0$:
$$t^2 - 5t + 4 = 0$$
$$(t - 4)(t - 1) = 0$$
Las raíces son $t_1 = 4$ y $t_2 = 1$.

Resultado:
Las soluciones del sistema son:
$$(x, y) \in \{ (4, 1), (1, 4) \}$$