Ii
MATU • Algebra
MATU_SIS_ECU_030
original_elaboracion_propia
Enunciado
Encuentre los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema:
$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 19 \\ x + y = 5 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 19 \\ x + y = 5 \end{cases} $$
Solución Paso a Paso
Podemos resolver este sistema utilizando la identidad notable del binomio al cuadrado:
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
De la segunda ecuación, sabemos que $x + y = 5$. Elevando al cuadrado:
$25 = x^2 + 2xy + y^2$ (Ecuación A)
La primera ecuación es:
$19 = x^2 + xy + y^2$ (Ecuación B)
Restamos la Ecuación B de la Ecuación A:
$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 + xy + y^2) = 25 - 19$
$xy = 6$
Ahora tenemos un sistema mucho más simple:
$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $$
Buscamos dos números que sumados den 5 y multiplicados den 6. Estos números son las raíces de:
$t^2 - 5t + 6 = 0 \implies (t - 3)(t - 2) = 0$
Por lo tanto, las soluciones son:
$(x, y) = (3, 2)$ y $(x, y) = (2, 3)$.
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
De la segunda ecuación, sabemos que $x + y = 5$. Elevando al cuadrado:
$25 = x^2 + 2xy + y^2$ (Ecuación A)
La primera ecuación es:
$19 = x^2 + xy + y^2$ (Ecuación B)
Restamos la Ecuación B de la Ecuación A:
$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 + xy + y^2) = 25 - 19$
$xy = 6$
Ahora tenemos un sistema mucho más simple:
$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $$
Buscamos dos números que sumados den 5 y multiplicados den 6. Estos números son las raíces de:
$t^2 - 5t + 6 = 0 \implies (t - 3)(t - 2) = 0$
Por lo tanto, las soluciones son:
$(x, y) = (3, 2)$ y $(x, y) = (2, 3)$.