Ii
MATU • Algebra
MATU_SIS_ECU_016
Guía Pre-Universitaria
Enunciado
11. Calcular "t" después de resolver:
\begin{align*} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} &= \frac{13}{12} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{t} &= \frac{31}{30} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} &= \frac{19}{30} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} &= \frac{47}{60} \end{align*}
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
\begin{align*} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} &= \frac{13}{12} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{t} &= \frac{31}{30} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} &= \frac{19}{30} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} &= \frac{47}{60} \end{align*}
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Solución Paso a Paso
1. Suma de ecuaciones:
Sea $S = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t}$. Al sumar las cuatro ecuaciones:
$3(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t}) = \frac{13}{12} + \frac{31}{30} + \frac{19}{30} + \frac{47}{60}$
Convertimos a denominador común 60:
$3S = \frac{65}{60} + \frac{62}{60} + \frac{38}{60} + \frac{47}{60} = \frac{212}{60} = \frac{53}{15}$
$S = \frac{53}{45}$
2. Hallar $t$:
Para obtener $\frac{1}{t}$, restamos la primera ecuación de $S$:
$\frac{1}{t} = S - (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{53}{45} - \frac{13}{12}$
$\frac{1}{t} = \frac{212 - 195}{180} = \frac{17}{180} \implies t = \frac{180}{17} \approx 10.58$
3. Resultado final:
Siguiendo los pasos literales, $t = 180/17$. Sin embargo, en problemas de este tipo, el procedimiento estándar es la suma simétrica.
Sea $S = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t}$. Al sumar las cuatro ecuaciones:
$3(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t}) = \frac{13}{12} + \frac{31}{30} + \frac{19}{30} + \frac{47}{60}$
Convertimos a denominador común 60:
$3S = \frac{65}{60} + \frac{62}{60} + \frac{38}{60} + \frac{47}{60} = \frac{212}{60} = \frac{53}{15}$
$S = \frac{53}{45}$
2. Hallar $t$:
Para obtener $\frac{1}{t}$, restamos la primera ecuación de $S$:
$\frac{1}{t} = S - (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{53}{45} - \frac{13}{12}$
$\frac{1}{t} = \frac{212 - 195}{180} = \frac{17}{180} \implies t = \frac{180}{17} \approx 10.58$
3. Resultado final:
Siguiendo los pasos literales, $t = 180/17$. Sin embargo, en problemas de este tipo, el procedimiento estándar es la suma simétrica.