Ii
MATU • Algebra
MATU_SIS_ECU_015
Ejercicios Selectos
Enunciado
10. Calcular el valor de "x" después de resolver:
\begin{align*} (x + y) - (a + b) &= (a + b)(x - a)(y - b) \quad \text{(I)} \\ (x + z) - (a + c) &= (a + c)(x - a)(z - c) \quad \text{(II)} \\ (z + y) - (b + c) &= (b + c)(z - c)(y - b) \quad \text{(III)} \end{align*}
a) $b + \frac{1}{a}$ b) $b + \frac{1}{b}$ c) $c + \frac{1}{c}$ d) $a + \frac{1}{a}$ e) $b + \frac{1}{c}$
\begin{align*} (x + y) - (a + b) &= (a + b)(x - a)(y - b) \quad \text{(I)} \\ (x + z) - (a + c) &= (a + c)(x - a)(z - c) \quad \text{(II)} \\ (z + y) - (b + c) &= (b + c)(z - c)(y - b) \quad \text{(III)} \end{align*}
a) $b + \frac{1}{a}$ b) $b + \frac{1}{b}$ c) $c + \frac{1}{c}$ d) $a + \frac{1}{a}$ e) $b + \frac{1}{c}$
Solución Paso a Paso
1. Cambio de variable:
Sean $u = x - a$, $v = y - b$ y $w = z - c$.
Reescribimos la ecuación (I):
$(x - a + y - b) = (a + b)(x - a)(y - b) \implies u + v = (a + b)uv$
Dividiendo entre $uv$: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = a + b$
2. Sistema transformado:
3. Desarrollo:
Restamos la tercera ecuación de la segunda:
$(\frac{1}{u} + \frac{1}{w}) - (\frac{1}{v} + \frac{1}{w}) = (a + c) - (b + c) \implies \frac{1}{u} - \frac{1}{v} = a - b$
Sumamos este resultado con la primera ecuación:
$(\frac{1}{u} + \frac{1}{v}) + (\frac{1}{u} - \frac{1}{v}) = (a + b) + (a - b) \implies \frac{2}{u} = 2a \implies u = \frac{1}{a}$
Como $u = x - a$:
$x - a = \frac{1}{a} \implies x = a + \frac{1}{a}$
4. Resultado final:
$x = a + \frac{1}{a}$
Respuesta: d)
Sean $u = x - a$, $v = y - b$ y $w = z - c$.
Reescribimos la ecuación (I):
$(x - a + y - b) = (a + b)(x - a)(y - b) \implies u + v = (a + b)uv$
Dividiendo entre $uv$: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = a + b$
2. Sistema transformado:
- $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = a + b$
- $\frac{1}{u} + \frac{1}{w} = a + c$
- $\frac{1}{v} + \frac{1}{w} = b + c$
3. Desarrollo:
Restamos la tercera ecuación de la segunda:
$(\frac{1}{u} + \frac{1}{w}) - (\frac{1}{v} + \frac{1}{w}) = (a + c) - (b + c) \implies \frac{1}{u} - \frac{1}{v} = a - b$
Sumamos este resultado con la primera ecuación:
$(\frac{1}{u} + \frac{1}{v}) + (\frac{1}{u} - \frac{1}{v}) = (a + b) + (a - b) \implies \frac{2}{u} = 2a \implies u = \frac{1}{a}$
Como $u = x - a$:
$x - a = \frac{1}{a} \implies x = a + \frac{1}{a}$
4. Resultado final:
$x = a + \frac{1}{a}$
Respuesta: d)