El método a utilizar será la anulación de los términos independientes para obtener una ecuación cuadrática homogénea, que nos permitirá encontrar una relación lineal entre las variables $x $ e $ y $.

Paso 1: Eliminar los términos independientes

Para igualar los términos independientes (18 y 4), buscamos su mínimo común múltiplo, que es 36. Multiplicamos la ecuación (1) por 2 y la ecuación (2) por 9:
$$ \begin{cases} x^2 + 3xy = 18 \xrightarrow{\times 2} 2x^2 + 6xy = 36 \quad \dots(1)^* \\ x^2 - 5y^2 = 4 \xrightarrow{\times 9} 9x^2 - 45y^2 = 36 \quad \dots(2)^* \end{cases} $$
Ahora que los términos independientes son iguales, restamos la ecuación $(1)^*$ de la ecuación $(2)^*$:
$$ (9x^2 - 45y^2) - (2x^2 + 6xy) = 36 - 36 $$
$$ 7x^2 - 6xy - 45y^2 = 0 $$

Paso 2: Factorizar la ecuación homogénea

La ecuación resultante es una ecuación homogénea que podemos factorizar:
$$ 7x^2 - 6xy - 45y^2 = 0 $$
$$ (7x + 15y)(x - 3y) = 0 $$

Paso 3: Analizar los casos y resolver

Caso A: $7x + 15y = 0 \implies x = -\frac{15}{7}y$
Sustituimos esta relación en la ecuación (2) del sistema original:
$$ \left(-\frac{15}{7}y\right)^2 - 5y^2 = 4 $$
$$ \frac{225}{49}y^2 - 5y^2 = 4 $$
$$ \left(\frac{225 - 245}{49}\right)y^2 = 4 $$
$$ -\frac{20}{49}y^2 = 4 \implies y^2 = -\frac{4 \cdot 49}{20} = -\frac{49}{5} $$
Como $y^2$ no puede ser un número negativo, este caso no tiene soluciones en los números reales.

Caso B: $x - 3y = 0 \implies x = 3y$
Sustituimos esta relación en la ecuación (2) del sistema original:
$$ (3y)^2 - 5y^2 = 4 $$
$$ 9y^2 - 5y^2 = 4 $$
$$ 4y^2 = 4 $$
$$ y^2 = 1 \implies y = \pm 1 $$
Ahora encontramos los valores de $x$ correspondientes:

• Si $y = 1$, entonces $x = 3(1) = 3$.
• Si $y = -1$, entonces $x = 3(-1) = -3$.

Este caso nos da dos pares de soluciones: $(3, 1)$ y $(-3, -1)$.

Paso 4: Conclusión

El conjunto de soluciones para el sistema de ecuaciones es:
$$ \therefore S = \{(3, 1), (-3, -1)\} $$