Para resolver este ejercicio, simplificaremos cada paréntesis y el radical de forma independiente antes de realizar el producto final.

1. Simplificación del primer paréntesis:
Llamémoslo $P_1$:
$$ P_1 = \frac{(a-1)^{-1}}{a^{-3}} - (1-a)^{-1} $$
Aplicamos la propiedad de exponentes negativos $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:
$$ P_1 = \frac{a^3}{a-1} - \frac{1}{1-a} $$
Notamos que $(1-a) = -(a-1)$, por lo que podemos cambiar el signo de la segunda fracción:
$$ P_1 = \frac{a^3}{a-1} + \frac{1}{a-1} = \frac{a^3 + 1}{a-1} $$
Recordando la suma de cubos $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:
$$ P_1 = \frac{(a+1)(a^2 - a + 1)}{a-1} $$

2. Simplificación del segundo paréntesis:
Llamémoslo $P_2$:
$$ P_2 = \frac{1 + a(a-2)}{a^2 - a + 1} = \frac{1 + a^2 - 2a}{a^2 - a + 1} $$
El numerador es un trinomio cuadrado perfecto: $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.
$$ P_2 = \frac{(a-1)^2}{a^2 - a + 1} $$

3. Simplificación del radical:
$$ R = \sqrt{\frac{1}{(a+1)^2}} = \frac{1}{a+1} $$

4. Combinación y producto final:
Multiplicamos los resultados obtenidos:
$$ E = P_1 \cdot P_2 \cdot R $$
$$ E = \left[ \frac{(a+1)(a^2 - a + 1)}{a-1} \right] \cdot \left[ \frac{(a-1)^2}{a^2 - a + 1} \right] \cdot \left[ \frac{1}{a+1} \right] $$
Cancelamos los términos comunes en el numerador y denominador:

• $(a+1)$ se cancela.


• $(a^2 - a + 1)$ se cancela.


• Un factor de $(a-1)$ se cancela.

$$ E = a-1 $$

$$ \boxed{a-1} $$