Procedemos a simplificar cada parte de la operación por separado.

1. Simplificación del primer paréntesis:
$$ \sqrt{ab} - \frac{ab}{a + \sqrt{ab}} $$
Factorizamos $\sqrt{a}$ en el denominador:
$$ \sqrt{ab} - \frac{ab}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \sqrt{ab} - \frac{\sqrt{a}b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$
Operamos la resta de fracciones:
$$ \frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - \sqrt{a}b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b} + \sqrt{a}b - \sqrt{a}b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$

2. Simplificación del divisor:
$$ \frac{2\sqrt{ab} - 2b}{a - b} = \frac{2\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$

3. División final:
Dividir es multiplicar por el recíproco:
$$ E = \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2\sqrt{b}} $$
Simplificamos los términos comunes $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ y $\sqrt{b}$:
$$ E = \frac{a}{2} $$

$$ \boxed{E = \frac{a}{2}} $$