Ii
MATU • Algebra
MATU_RACI_075
Solving Problems in Algebra and Trigonometry Litvinenko Mordkovich
Enunciado
Efectuar la siguiente operación:
$$ \left( \frac{\sqrt[3]{a^2 b} - \sqrt[3]{ab^2}}{\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} - \frac{a+b}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} \right) (\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})^{-1} + \sqrt[6]{a} $$
$$ \left( \frac{\sqrt[3]{a^2 b} - \sqrt[3]{ab^2}}{\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} - \frac{a+b}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} \right) (\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})^{-1} + \sqrt[6]{a} $$
Solución Paso a Paso
1. Simplificación del primer término del corchete:
Factorizamos el numerador y el denominador:
$$ \text{Num: } \sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) $$
$$ \text{Den: } (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 $$
$$ \text{Término 1: } \frac{\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2} = \frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} $$
2. Simplificación del segundo término del corchete:
Usamos suma de cubos en el numerador y diferencia de cuadrados en el denominador:
$$ a+b = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) $$
$$ \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) $$
$$ \text{Término 2: } \frac{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} = \frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} $$
3. Resta dentro del corchete:
$$ \frac{\sqrt[3]{ab} - (\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \frac{-\sqrt[3]{a^2} + 2\sqrt[3]{ab} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \frac{-(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = -(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) $$
4. Multiplicación y suma final:
Notemos que $\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = (\sqrt[6]{a})^2 - (\sqrt[6]{b})^2 = (\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})$.
$$ [-(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})] \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} + \sqrt[6]{a} $$
$$ = -(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}) + \sqrt[6]{a} = -\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b} + \sqrt[6]{a} = -\sqrt[6]{b} $$
$$ \boxed{-\sqrt[6]{b}} $$
Factorizamos el numerador y el denominador:
$$ \text{Num: } \sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) $$
$$ \text{Den: } (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 $$
$$ \text{Término 1: } \frac{\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2} = \frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} $$
2. Simplificación del segundo término del corchete:
Usamos suma de cubos en el numerador y diferencia de cuadrados en el denominador:
$$ a+b = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) $$
$$ \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) $$
$$ \text{Término 2: } \frac{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} = \frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} $$
3. Resta dentro del corchete:
$$ \frac{\sqrt[3]{ab} - (\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \frac{-\sqrt[3]{a^2} + 2\sqrt[3]{ab} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \frac{-(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = -(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) $$
4. Multiplicación y suma final:
Notemos que $\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = (\sqrt[6]{a})^2 - (\sqrt[6]{b})^2 = (\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})$.
$$ [-(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})] \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} + \sqrt[6]{a} $$
$$ = -(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}) + \sqrt[6]{a} = -\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b} + \sqrt[6]{a} = -\sqrt[6]{b} $$
$$ \boxed{-\sqrt[6]{b}} $$