Para resolver este problema, simplificaremos cada término por separado.

1. Simplificación del primer término del paréntesis:
Racionalizamos multiplicando por la conjugada del denominador:
$$ \frac{a+\sqrt{a^2-1}}{a-\sqrt{a^2-1}} \cdot \frac{a+\sqrt{a^2-1}}{a+\sqrt{a^2-1}} = \frac{(a+\sqrt{a^2-1})^2}{a^2 - (a^2-1)} = \frac{a^2 + 2a\sqrt{a^2-1} + a^2 - 1}{1} = 2a^2 - 1 + 2a\sqrt{a^2-1} $$

2. Simplificación del segundo término del paréntesis:
Primero simplificamos la fracción compleja multiplicando numerador y denominador por $\sqrt{a^2-1}$:
$$ \frac{1-\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}}{1+\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}} = \frac{\sqrt{a^2-1}-a}{\sqrt{a^2-1}+a} $$
Racionalizamos multiplicando por la conjugada $(\sqrt{a^2-1}-a)$:
$$ \frac{(\sqrt{a^2-1}-a)^2}{(a^2-1)-a^2} = \frac{(a^2-1) - 2a\sqrt{a^2-1} + a^2}{-1} = \frac{2a^2 - 1 - 2a\sqrt{a^2-1}}{-1} = -2a^2 + 1 + 2a\sqrt{a^2-1} $$

3. Suma de los términos del paréntesis:
$$ (2a^2 - 1 + 2a\sqrt{a^2-1}) + (-2a^2 + 1 + 2a\sqrt{a^2-1}) = 4a\sqrt{a^2-1} $$

4. Simplificación del divisor:
$$ \frac{\sqrt{a-\frac{1}{a}}}{\sqrt{\frac{1}{a}}} = \sqrt{\frac{\frac{a^2-1}{a}}{\frac{1}{a}}} = \sqrt{a^2-1} $$

5. Operación final:
$$ 4a\sqrt{a^2-1} \div \sqrt{a^2-1} = 4a $$

$$ \boxed{4a} $$