Ii
MATU • Algebra
MATU_RACI_070
Solving Problems in Algebra and Trigonometry Litvinenko Mordkovich
Enunciado
Simplificar la siguiente expresión:
$$ \left( \sqrt{ \left( \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} - 1 \right)^{-1} } + \sqrt{ \left( \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} + 1 \right)^{-1} } \right) \div \left( \sqrt{ \left( \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} - 1 \right)^{-1} } - \sqrt{ \left( \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} + 1 \right)^{-1} } \right) $$
donde $a > 0, b > 0$.
$$ \left( \sqrt{ \left( \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} - 1 \right)^{-1} } + \sqrt{ \left( \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} + 1 \right)^{-1} } \right) \div \left( \sqrt{ \left( \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} - 1 \right)^{-1} } - \sqrt{ \left( \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} + 1 \right)^{-1} } \right) $$
donde $a > 0, b > 0$.
Solución Paso a Paso
1. Análisis de los términos internos
Definamos los términos dentro de las raíces para simplificar el proceso:
$$ X = \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} - 1 \quad \text{y} \quad Y = \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} + 1 $$
Simplificamos $X$:
$$ X = \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2\sqrt{ab}} $$
Simplificamos $Y$:
$$ Y = \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{2\sqrt{ab}} $$
2. Sustitución en las raíces con exponente negativo
Recordemos que $Z^{-1} = \frac{1}{Z}$. Por lo tanto:
$$ \sqrt{X^{-1}} = \frac{1}{\sqrt{X}} = \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{|\sqrt{a} - \sqrt{b}|} $$
$$ \sqrt{Y^{-1}} = \frac{1}{\sqrt{Y}} = \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$
3. Estructura de la expresión
La expresión original tiene la forma $\frac{A + B}{A - B}$, donde:
$$ A = \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{|\sqrt{a} - \sqrt{b}|}, \quad B = \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$
$$ \frac{ \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} }{ \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} } $$
4. Simplificación algebraica
Podemos factorizar $\sqrt{2\sqrt{ab}}$ tanto en el numerador como en el denominador y cancelarlo:
$$ \frac{ \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} }{ \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} } $$
Operando las fracciones:
Numerador: $\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{2\sqrt{a}}{a - b}$
Denominador: $\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{2\sqrt{b}}{a - b}$
Dividiendo ambos resultados:
$$ \frac{2\sqrt{a}}{a - b} \cdot \frac{a - b}{2\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $$
Representación del proceso:
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Término} & \text{Forma Simplificada} \\ \hline X & \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2\sqrt{ab}} \\ \hline Y & \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2\sqrt{ab}} \\ \hline \text{Resultado final} & \sqrt{\frac{a}{b}} \\ \hline \end{array} $$
$$ \boxed{\sqrt{\frac{a}{b}}} $$
Definamos los términos dentro de las raíces para simplificar el proceso:
$$ X = \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} - 1 \quad \text{y} \quad Y = \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} + 1 $$
Simplificamos $X$:
$$ X = \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2\sqrt{ab}} $$
Simplificamos $Y$:
$$ Y = \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{2\sqrt{ab}} $$
2. Sustitución en las raíces con exponente negativo
Recordemos que $Z^{-1} = \frac{1}{Z}$. Por lo tanto:
$$ \sqrt{X^{-1}} = \frac{1}{\sqrt{X}} = \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{|\sqrt{a} - \sqrt{b}|} $$
$$ \sqrt{Y^{-1}} = \frac{1}{\sqrt{Y}} = \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$
3. Estructura de la expresión
La expresión original tiene la forma $\frac{A + B}{A - B}$, donde:
$$ A = \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{|\sqrt{a} - \sqrt{b}|}, \quad B = \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$
$$ \frac{ \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} }{ \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{2\sqrt{ab}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} } $$
4. Simplificación algebraica
Podemos factorizar $\sqrt{2\sqrt{ab}}$ tanto en el numerador como en el denominador y cancelarlo:
$$ \frac{ \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} }{ \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} } $$
Operando las fracciones:
Numerador: $\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{2\sqrt{a}}{a - b}$
Denominador: $\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{2\sqrt{b}}{a - b}$
Dividiendo ambos resultados:
$$ \frac{2\sqrt{a}}{a - b} \cdot \frac{a - b}{2\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $$
Representación del proceso:
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Término} & \text{Forma Simplificada} \\ \hline X & \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2\sqrt{ab}} \\ \hline Y & \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2\sqrt{ab}} \\ \hline \text{Resultado final} & \sqrt{\frac{a}{b}} \\ \hline \end{array} $$
$$ \boxed{\sqrt{\frac{a}{b}}} $$