1. Simplificación del primer término del paréntesis:
$$ \frac{1}{\sqrt{a} - \frac{4}{\sqrt{a}}} = \frac{1}{\frac{(\sqrt{a})^2 - 4}{\sqrt{a}}} = \frac{\sqrt{a}}{a-4} $$

2. Simplificación del segundo término del paréntesis:
Factorizamos el denominador usando propiedades de radicales:
$$ \sqrt[3]{a^4} = a \sqrt[3]{a}, \quad \sqrt[3]{64a} = 4 \sqrt[3]{a} $$
Entonces:
$$ \frac{2\sqrt[3]{a}}{a\sqrt[3]{a} - 4\sqrt[3]{a}} = \frac{2\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}(a - 4)} = \frac{2}{a-4} $$

3. Operación dentro del paréntesis:
Restamos ambas fracciones (tienen el mismo denominador):
$$ \left( \frac{\sqrt{a}}{a-4} - \frac{2}{a-4} \right) = \frac{\sqrt{a} - 2}{a-4} $$
Factorizamos el denominador $a-4$ como diferencia de cuadrados $(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)$:
$$ \frac{\sqrt{a} - 2}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} = \frac{1}{\sqrt{a}+2} $$

4. Aplicación del exponente -2:
$$ \left( \frac{1}{\sqrt{a}+2} \right)^{-2} = (\sqrt{a}+2)^2 = (\sqrt{a})^2 + 2(2\sqrt{a}) + 2^2 = a + 4\sqrt{a} + 4 $$

5. Simplificación de la raíz final:
El término bajo la raíz es un trinomio cuadrado perfecto: $a^2 + 8a + 16 = (a+4)^2$.
$$ \sqrt{(a+4)^2} = |a+4| $$

6. Resta final:
$$ (a + 4\sqrt{a} + 4) - (a + 4) = a + 4\sqrt{a} + 4 - a - 4 = 4\sqrt{a} $$

Resultado final:
$$ \boxed{4\sqrt{a}} $$