1. Racionalización de los sumandos
Racionalizamos cada fracción multiplicando por su conjugada:

Primer sumando:
$$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a+1}} \cdot \frac{\sqrt{a+1} - \sqrt{a}}{\sqrt{a+1} - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a+1} - \sqrt{a}}{(a+1) - a} = \sqrt{a+1} - \sqrt{a} $$

Segundo sumando:
$$ \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{a-1}} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{a-1}}{\sqrt{a} + \sqrt{a-1}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{a-1}}{a - (a-1)} = \sqrt{a} + \sqrt{a-1} $$

2. Suma de términos
Sumamos ambos resultados:
$$ (\sqrt{a+1} - \sqrt{a}) + (\sqrt{a} + \sqrt{a-1}) = \sqrt{a+1} + \sqrt{a-1} $$

3. Simplificación del divisor
Operamos el término de la derecha:
$$ 1 + \sqrt{\frac{a+1}{a-1}} = 1 + \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}} = \frac{\sqrt{a-1} + \sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}} $$

4. División final
Dividimos el resultado del paréntesis por el divisor:
$$ E = (\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}) \div \left( \frac{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}} \right) $$
$$ E = (\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}) \cdot \frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1}} $$
Cancelamos los términos comunes:
$$ \boxed{ \sqrt{a-1} } $$